19世纪发现的“四元数”为数学家提供了一种描述空间旋转的新方法，这将会改变物理和数学。时针从3转动到12，数学家早已知道如何把这种旋转用简单的乘法描述出来：将时针在平面上的初始位置数字与另一个常数相乘。19世纪最多产的数学家之一威廉·汉密尔顿花了十多年的时间才找到了描述三维旋转的数学方法。这个不太可能的解决方案让他在四种数字系统中找到了第三种数字系统。这四种系统与标准算术相似，并帮助推动了现代代数的发展。
带有丝带的旋转立方体只有经过两次完整旋转才会回到初始状态；四元数的四维数与电子和夸克等物质粒子的行为极为相似。 图片：Jason Hise
博科园-科学科普：实数构成了第一个数字系统。实数包含了我们学习到的所有熟悉数字,如-3、7、5 、-√42。文艺复兴时期，代数家们偶然发现了第二种数字系统，意识到在解某些方程时，需要引入一个新数字i，这一数字可以被加、减、乘和除；于是他们迈出了第一步，进入了“复杂平面，而后将“虚构”数字与真实数字相结合。在这个平面世界中，“复数”代表箭头，利用加减法来可以将箭头滑动，用乘法和除法可以旋转和拉伸箭头。
哈密尔顿是爱尔兰数学家，古典和量子力学中“哈密顿算符”的同姓者。他希望通过增加一个虚构的j轴走出复杂平面。这就像米尔顿•布拉德利将《战舰》变成《列阵列阵》那样。但三维空间中有一些东西打破了哈密尔顿能想到的所有方法。在复杂平面中，乘法会产生旋转。不管哈密尔顿如何用3-D来定义乘法，他始终无法找到一个相反的除法来得到有意义答案。要想知道是什么让3-D旋转变得如此困难，可以将方向盘与地球仪进行对比
方向盘上的所有点都以相同方式运动，所以每个点就像是乘了相同的复数。但是地球上所有点的移动速度由赤道向两级递减，赤道上的点的移动速度最快，而两极根本不会有任何改变。Baez解释说：如果三维旋转和二维旋转一样，那么每个点都会移动。1843年10月16日，哈密尔顿在都柏林布鲁姆桥上刻下了著名的符号：三个虚轴i、 j、 k，加上实数轴a。哈密尔顿定义的新数字类似于4维空间中的箭头。他把它们命名为“四元数”。旋转一个3-D矢量意味着它乘以了一对完整的4-D四元数，其中包含关于旋转方向和程度的信息。
用真实和复杂的数字能够解决任何事情，除了一个不和谐问题——四元数乘法阶次问题。例如把你的手机正面放在平面上，向左旋转90度，然后将它翻转，注意相机指向哪个方向。回到初始位置，先将手机翻转，然后将它转到左边，观察相机如何指向右边。这个令人惊恐的属性被称为非交换性，是四元数与现实共享的一个特征。但新数字系统中也潜伏着一个漏洞。当手机或箭头以360度旋转时，描述这种360度旋转的四元数在四维空间中只上升了180度。
所以手机或箭头只需要两个完整旋转，就可以使相关四元数回到初始状态。倒置箭头会产生虚假的负面信号，这可能会对物理学造成严重破坏。因此，在哈密尔顿破坏大桥事件发生近40年后，物理学家们为了防止四元数系统成为标准而相互开战。当耶鲁大学教授约西亚·吉布斯定义了现代向量时，敌对情绪爆发了。
吉布斯断定第四维太麻烦了，于是哈密尔顿的创建完全砍掉一个术语：吉布斯的四元数分拆保持了i，j，k符号，但是把四元数相乘的笨拙规则分解成相乘向量的单独操作——点积和叉乘。汉密尔顿的学生将这个新系统称为“怪物”，而矢量迷则将四元组贬低为“无理取闹”和“纯粹的邪恶”。这场辩论在期刊和小册子上激烈地进行了多年，由于便捷矢量最终获得了胜利。四元数在向量的阴影下逐渐衰败，直到量子力学在20世纪20年代揭示了它们的真实身份。
正常的360度足以完全旋转光子和其他力粒子，而电子和所有其他物质粒子则需要两圈才能回到初始状态。哈密尔顿的数字系统一直在描述这些尚未被发现的实体，现在被称为“旋量”。尽管如此，物理学家们在日常计算中从未采用四元数，因为他们在矩阵基础上找到了另一种处理旋量的方案。直到最近几十年，四元系统才经历了一次复兴。除了在计算机图形学中作为计算旋转的有效工具，四元数还存在于高维表面的几何中。
高kahler流形允许向量组和旋量组来回转换，这将向量-代数敌对的双方联合起来。由于矢量描述力粒子而旋流描述物质粒子，物理学家们对这种性质非常感兴趣，他们想知道物质和力之间是否存在超对称性，这种对称性是否在自然界中存在。如果事实如此，那么宇宙中的对称性将会被严重破坏。与此同时，对于数学家来说，四元数从未真正失去光芒。当汉密尔顿发明四元数时，每个人和他的兄弟就决定建立自己的数字系统，大多数系统完全没用，但最终他们创造了现代代数。
今天抽象代数家正在研究各种维数和各种奇异性质的大量数字系统。哈密尔顿的朋友约翰·格雷夫斯在四元数之后发现了第四个也是最后一个允许乘法模拟和相关除法运算的数字系统，这种结构并非毫无用处。一些物理学家怀疑这些特殊八维的“八元数”可能在基础物理学中起着至关重要的作用。牛津大学几何学家奈杰尔·希钦说：我认为基于四元数的几何学还有很多东西需要探索，如果想要一个新前沿，非八进制莫属。
博科园-科学科普｜文：Charlie Wood/Quanta magazine/Quanta Newsletter
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