两阶段最小二乘回归（2sls回归）是解决内生性问题的常用方法。上文中对两阶段最小二乘法做了基本介绍，本文将通过案例说明具体操作步骤。

1 背景

本案例引入Mincer(1958)关于工资与受教育年限研究的数据。案例数据中包括以下信息，如下表格：

数据共有12项，其中编号为1，5，7，8，12共五项并不在考虑范畴。

本案例研究‘受教育年限’对于‘Ln工资’的影响。明显的，从理论上可能出现‘双向因果关系’即‘受教育年限’很可能是内生变量。那么可考虑使用‘母亲受教育年限’和‘成绩’这两项数据作为工具变量。同时研究时纳入3个外生变量，分别是‘婚姻’，‘是否大城市‘和’当前单位工作年限’。使用两阶段最小二乘TSLS回归进行解决内生性问题。

本案例研究时，工具变量为2个，内生变量为1个，因而为过度识别，可以正常进行TSLS回归。

2 理论

两阶段最小二乘回归，其内部原理上共分为两次回归。第一次回归将内生变量与工具变量，外生变量进行回归，并且得到回归预测值Prediction；第二次回归将被解释变量与Prediction，外生变量进行回归，得到最终模型结果。第一次回归为中间过程值，SPSSAU并没有输出，如果有需要可自行使用线性回归或OLS回归进行即可。

• 关于内生性的检验Durbin-Wu-Hausman检验，其用于检验是否真的为内生变量；如果说检验不通过（接受原假设），那么说明没有内生变量存在，可直接使用OLS回归即可。当然即使没有内生性，一般也可以使用TSLS回归，没有内生性问题时，OLS回归和TSLS回归结论通常一致；

• 关于过度识别检验上，SPSSAU提供Sargan检验和Basmann检验(使用任意其一即可)，原理上此过度识别检验仅在‘过度识别’时才会输出，即工具变量个数>内生变量个数时，才会输出。

3 操作

本案例分别将被解释变量，内生变量，工具变量和外生变量纳入对应的模型框中，如下：

4 SPSSAU输出结果

SPSSAU共输出6类表格，分别是研究变量类型表格，2sls模型分析结果表格，2sls模型分析结果-简化格式表格，模型汇总(中间过程)表格，Durbin-Wu-Hausman test外生性检验(test of exogeneity)和过度识别检验(overidentifying restrictions)。说明如下：

上一表格展示本次研究时涉及的各变量属性，包括被解释变量，内生变量，工具变量和外生变量组成情况。

上表格列出TSLS两阶段最小二乘回归的最终结果（第二阶段结果），首先模型通过Wald 卡方检验(Wald χ² =244.172，p=0.000<0.05)，意味着模型有效。同时R方值为0.342，意味着内生和外生变量对于工资的解释力度为34.2%。具体查看内生和外生变量对于被解释变量‘工资’的影响情况来看：

受教育年限的回归系数值为0.112(p=0.000<0.01)，意味着受教育年限会对工资产生显著的正向影响关系。

婚姻(已婚为1)的回归系数值为0.167(p=0.000<0.01)，意味着相对未婚群体来讲，已婚群体的工资水平明显会更高。

是否大城市(1为大城市)的回归系数值为0.145(p=0.000<0.01)，意味着相对来讲，大城市样本群体，他们的工资水平明显会更高。

当前单位工作年限的回归系数值为0.036(p=0.000<0.01)，意味着当前单位工作年限会对工资产生显著的正向影响关系。

总结分析可知：受教育年限, 婚姻，是否大城市, 当前单位工作年限全部均会对工资产生显著的正向影响关系。

上表格展示模型的基础指标值，包括模型有效检验wald卡方值（此处提供wald卡方非F检验），R值，Root MSE等指标值。

Durbin-Wu-Hausman test用于检验解释变量X（即内生外量）是否均为外生变量（即是否不存在内生变量）

从上表可知，本次研究纳入的内生变量为‘受教育年限’，Wu-Hausman检验显示拒绝原假设（p=0.047<0.05），意味着‘所有解释变量均外生’这一假设不成立。即意味着‘受教育年限’是内生变量。同时也可使用Durbin检验，一般情况下使用Durbin-Wu-Hausman检验较多。

特别提示：

如果无法拒绝原假设，那么说明研究的内生变量并不是真正意义上的内生变量，那么此时可考虑直接使用OLS回归结果即可，但多数时候也可直接使用TSLS两阶段最小二乘的结果，似研究者专业理论知识综合而定。

过度识别检验用于检验工具变量是否为外生变量，本次研究涉及工具变量为2个，分别是‘母亲受教育年限’和‘成绩’。从上表可知，过度识别Sargan检验显示接受原假设（p=0.874>0.05），同时Basmann检验也显示接受原假设（p=0.874>0.05）。同说明无法拒绝‘工具变量外生性’这一假定，模型良好。

特别提示：

• 过度识别检验用于判断‘工具变量的外生性’，SPSSAU提供Sargan和Basmann检验，使用其一即可

• 工具变量个数>内生变量个数，即过度识别时，才会有效；如果恰好识别（工具变量个数=内生变量个数），此时无法输出检验值。

5 剖析

涉及以下几个关键点，分别如下：

• 内生变量和外生变量，其二者均为解释变量，如果考虑内生性问题时才会将解释变量区分成内生变量和外生变量。

• 模型有效性检验上，SPSSAU默认使用wald卡方检验而非F检验。