线性回归及梯度下降

线性回归及梯度下降

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本文会讲到：

(1) 线性回归的定义

(2) 单变量线性回归

(3) cost function：评价线性回归是否拟合训练集的方法

(4) 梯度下降：解决线性回归的方法之一

(5) feature scaling：加快梯度下降执行速度的方法

(6) 多变量线性回归

1 Linear Regression

注意一句话：多变量线性回归之前必须要Feature Scaling！

方法：线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好（即此函数是否足够拟合训练集数据），挑选出最好的函数（cost function最小）即可；

注意：

(1) 因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；

(2) 因为是单变量，因此只有一个x；

我们能够给出单变量线性回归的模型：

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我们常称x为feature，h(x)为hypothesis；

从上面“方法”中，我们肯定有一个疑问，怎么样能够看出线性函数拟合的好不好呢？

我们需要使用到Cost Function（代价函数），代价函数越小，说明线性回归地越好（和训练集拟合地越好），当然最小就是0，即完全拟合；

举个实际的例子：

我们想要根据房子的大小，预测房子的价格，给定如下数据集：

[图片上传失败...(image-8fb9c2-1516351725507)]

根据以上的数据集画在图上，如下图所示：

[图片上传失败...(image-d68f7-1516351725507)]

我们需要根据这些点拟合出一条直线，使得cost Function最小；

虽然我们现在还不知道Cost Function内部到底是什么样的，但是我们的目标是：给定输入向量x，输出向量y，theta向量，输出Cost值；

以上我们对单变量线性回归的大致过程进行了描述；

2 Cost Function

Cost Function的用途：对假设的函数进行评价，cost function越小的函数，说明拟合训练数据拟合的越好；

下图详细说明了当cost function为黑盒的时候，cost function 的作用；

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但是我们肯定想知道cost Function的内部构造是什么？因此我们下面给出公式：

[图片上传失败...(image-8b4d1f-1516351725507)]

其中：

[图片上传失败...(image-b222ea-1516351725507)]表示向量x中的第i个元素；

[图片上传失败...(image-f1f5b0-1516351725507)]表示向量y中的第i个元素；

img

表示已知的假设函数；

m为训练集的数量；

比如给定数据集(1,1)、(2,2)、(3,3)
则x = [1;2;3]，y = [1;2;3]     （此处的语法为Octave语言的语法，表示3*1的矩阵）
如果我们预测theta0 = 0，theta1 = 1，则h(x) = x，则cost function：
J(0,1) = 1/(2*3) * [(h(1)-1)^2+(h(2)-2)^2+(h(3)-3)^2] = 0；
如果我们预测theta0 = 0，theta1 = 0.5，则h(x) = 0.5x，则cost function：
J(0,0.5) = 1/(2*3) * [(h(1)-1)^2+(h(2)-2)^2+(h(3)-3)^2] = 0.58；

如果theta0 一直为 0， 则theta1与J的函数为：

[图片上传失败...(image-85bc70-1516351725507)]

如果有theta0与theta1都不固定，则theta0、theta1、J 的函数为：

[图片上传失败...(image-e42ee7-1516351725507)]

当然我们也能够用二维的图来表示，即等高线图；

[图片上传失败...(image-5138de-1516351725507)]

注意：如果是线性回归，则costfunctionJ与的函数一定是碗状的，即只有一个最小点；

以上我们讲解了cost function 的定义、公式；

3 Gradient Descent（梯度下降）

但是又一个问题引出了，虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不可能一个一个试吧？

因此我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值；

梯度下降原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快；

当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation；

方法：

(1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate；

(2)任意给定一个初始值：[图片上传失败...(image-dd411a-1516351725507)][图片上传失败...(image-3147bf-1516351725507)]；

(3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新[图片上传失败...(image-c0bd8a-1516351725507)][图片上传失败...(image-2771fa-1516351725507)]；

(4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降；

算法：

img

特点：

(1)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；

(2)越接近最小值时，下降速度越慢；

问题：如果[图片上传失败...(image-bb5058-1516351725507)][图片上传失败...(image-cda425-1516351725507)]初始值就在local minimum的位置，则[图片上传失败...(image-77b24c-1516351725507)]

img 会如何变化？ 答：因为[图片上传失败...(image-20941-1516351725507)] img 已经在local minimum位置，所以derivative 肯定是0，因此 img img 不会变化；

如果取到一个正确的

img 值，则cost function应该越来越小； 问题：怎么取 img

值？

答：随时观察 img

值，如果cost function变小了，则ok，反之，则再取一个更小的值；

下图就详细的说明了梯度下降的过程：

img

从上面的图可以看出：初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；

注意：下降的步伐大小非常重要，因为如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢，如果太大，则可能会出现overshoot the minimum的现象；

下图就是overshoot minimum现象：

img

如果Learning rate取值后发现J function 增长了，则需要减小Learning rate的值；

4 Integrating with Gradient Descent & Linear Regression

梯度下降能够求出一个函数的最小值；

线性回归需要求出，使得cost function的最小；

因此我们能够对cost function运用梯度下降，即将梯度下降和线性回归进行整合，如下图所示：

img

梯度下降是通过不停的迭代，而我们比较关注迭代的次数，因为这关系到梯度下降的执行速度，为了减少迭代次数，因此引入了Feature Scaling；

5 Feature Scaling

此种方法应用于梯度下降，为了加快梯度下降的执行速度；

思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间；

常用的方法是Mean Normalization，即

img

或者：

[X-mean(X)]/std(X);

举个实际的例子，

有两个Feature：

(1)size，取值范围0~2000；

(2)#bedroom，取值范围0~5；

则通过feature scaling后，

img img

练习题

我们想要通过期中开始成绩预测期末考试成绩，我们希望得到的方程为：

img

给定以下训练集：

midterm exam	(midterm exam)2	final exam
89	7921	96
72	5184	74
94	8836	87
69	4761	78

我们想对(midterm exam)^2进行feature scaling，则 img

经过feature scaling后的值为多少？

max = 8836,min=4761,mean=6675.5，则x=(4761-6675.5)/(8836-4761) = -0.47；

6 多变量线性回归

前面我们只介绍了单变量的线性回归，即只有一个输入变量，现实世界不可能这么简单，因此此处我们要介绍多变量的线性回归；

举个例子：

房价其实由很多因素决定，比如size、number of bedrooms、number of floors、age of home等，这里我们假设房价由4个因素决定，如下图所示：

img

我们前面定义过单变量线性回归的模型：

img

这里我们可以定义出多变量线性回归的模型：

img

Cost function如下：

img

如果我们要用梯度下降解决多变量的线性回归，则我们还是可以用传统的梯度下降算法进行计算：

img

总练习题：

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1.我们想要根据一个学生第一年的成绩预测第二年的成绩，x为第一年得到A的数量，y为第二年得到A的数量，给定以下数据集：

x	y
3	4
2	1
4	3
0	1

(1)训练集的个数是多少？ 4个；

(2)J(0,1)的结果是多少？

J(0,1) = 1/(24)[(3-4)^2+(2-1)2+(4-3)^2+(0-1)2] = 1/8*(1+1+1+1) = 1/2 = 0.5；

我们也可以通过vectorization的方法快速算出J(0,1)：

img