算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

1. 数据结构与算法关系

数据结构：数据与数据之间的结构关系（数组、队列、树、图等结构）
算法：解决问题的步骤
数据结构与算法关系：数据结构是底层，算法高层。数据结构为算法提供服务。算法围绕数据结构操作。

2. 算法定义

什么是算法呢？算法是描述解决问题的方法。算法（Algorithm）这个单词最早出现在波斯数学家阿勒·花刺子密在公元825年（相当于我们中国的唐朝时期）所写的《印度数字算术》中。如今普遍认可的对算法的定义是：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法定义中，提到了指令，指令能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。
为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。

3. 算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

1. 输入输出
   算法的输入可以是零个，算法至少有一个或多个输出。
2. 有穷性
   算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成
3. 确定性
   算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。
4. 可行性
   算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。可行性意味着算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果

4. 算法设计的要求

正确性 可读性 健壮性 时间效率高和存储量低

1. 正确性
   算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
   但是算法的“正确”通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。
   1 算法程序没有语法错误。
   2 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
   3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
   4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
   对于这四层含义，层次1要求最低，但是仅仅没有语法错误实在谈不上是好算法。这就如同仅仅解决温饱，不能算是生活幸福一样。而层次4是最困难的，我们几乎不可能逐一验证所有的输入都得到正确的结果。
   因此算法的正确性在大部分情况下都不可能用程序来证明，而是用数学方法证明的。证明一个复杂算法在所有层次上都是正确的，代价非常昂贵。所以一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准。

2. 可读性
   算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
   可读性高有助于人们理解算法，晦涩难懂的算法往往隐含错误，不易被发现，并且难于调试和修改。

3. 健壮性
   当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
   一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。比如输入的时间或者距离不应该是负数等。

4. 时间效率高和存储量低
   时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。
   存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求
   比如在生活中，人们都希望花最少的钱，用最短的时间，办最大的事，算法也是一样的思想，最好用最少的存储空间，花最少的时间，办成同样的事就是好的算法。

5.算法效率的度量方法

事后统计方法 事前分析估算方法

1. 事后统计方法
   通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
   **缺陷: **

   • 必须依据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。
   • 时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣。
   • 算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。

2. 事前分析估算方法
   在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
   一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素:

   1. 算法采用的策略、方法。
   2. 编译产生的代码质量。
   3. 问题的输入规模。
   4. 机器执行指令的速度。

   第1条当然是算法好坏的根本，第2条要由软件来支持，第4条要看硬件性能。抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量与输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数

随着n值的越来越大，它们在时间效率上的差异也就越来越大。

6. 算法时间复杂度

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n 2)叫平方阶

1. 叫常数阶

//实例1
int sum = 0,n = 100;      /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行一次 */
printf("%d", sum);        /* 执行一次 */
//实例2
int sum = 0, n = 100;     /* 执行1次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行第1次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行第2次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行第3次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行第4次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行第5次 */
printf("%d", sum);        /* 执行1次 */

无论n为多少，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。
对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2. 线性阶O(n)
   线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。
   分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

int i;
for (i = 0; i < n; i++){  
     /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}
//它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

3. 对数阶O(logn)

int count = 1;
while (count < n){   
     count = count * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2 x=n得到x=log 2 n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

4.平方阶O(m×n)

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++){
     for (j = 0; j < n; j++)    { 
       /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */   
    }
}

内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n 2 )。

所以可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

推导大O阶方法

推导大O阶：
1．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

7.常见的时间复杂度

执行次数 函数阶 非正式术语

• O(1) 常数阶2n+3
• O(n) 线性阶3n 2 +2n+1
• O(n 2 ) 平方阶5log 2 n+20
• O(logn) 对数阶2n+3nlog 2 n+19
• O(nlogn) nlogn阶6n 3 +2n 2 +3n+4
• O(n 3 ) 立方阶2 n
• O(2 n ) 指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n 2 ) < O(n 3 ) < O(2 n ) < O(n!)<O(n n )

8. 总结回顾

算法的定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。
算法的设计的要求：正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求。
算法的度量方法：事后统计方法（不科学、不准确）、事前分析估算方法。
函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。于是我们可以得出一个结论，判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的，如果我们可以对比算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出：某个算法，随着n的变大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。
推导大O阶：用常数1取代运行时间中的所有加法常数。在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
常见的时间复杂度所耗时间的大小排列：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n 2 )<O(n 3 )<O(2 n )<O(n!)<O(n n )