疫情模型

作者: Rich070 | 来源:发表于2020-01-29 02:33 被阅读0次

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前几日做的是关于第二天新增确诊病例的预测，但是发现那个实在是太简单了，因为疑似病例中最后被确诊成肺炎的比例基本是不变的，在excel上把数据点画上去，然后画一条最优拟合线就完事了。

昨天突然意识到，自己其实有能力做一个关于疫情整体情况的模型，所以今天就动手操作一下。

模型

这次模型中有五类人：

$S$ - suseptible（可感人群）

$I$ - infectious（可以感染他人，但是由于种种原因没有被隔离，比如处于潜伏期，或者病情较轻，没有放在心上等。没有任何官方的数据来表明这类人的数量)

$D$ - diagnosed（被确诊而且被隔离，无法传染其他人。官方对于这类人的数量有明确的数据）

$R$ - recover（病情好转出院，获得免疫能力，无法被再次感染）

$DT$ - death（由于病重，不幸死亡）

有四个变化率：

$\alpha I$ - 每天被感染的人数

$\beta I$ - 每天被隔离治疗的人数

$\gamma D$ - 每天病情好转出院的人数

$\epsilon D$ - 每天死亡人数

接下来，我们可以写出他们变化率的表达式：

这一次我们只关注 $I$ 和 $D$ 这两个量，不去计算疫情结束时的死亡和康复人数（如果想知道这两个量的话，看看死亡率和康复率的相对大小就知道了 ------ 人最后要么康复，要么死亡。按照现在的数据，如果不及时开发出新的治疗方法的话，后果真的很严重）

参数

好，接下来我们来看看如何确定这四个参数。

最好估计的就是 $\gamma$ （康复率）和 $\varepsilon$ （死亡率）。根据丁香园的数据，

$\varepsilon = 106/4565 = 0.0232$

$\gamma =62/4565 = 0.0135$

对于 $\alpha$ 和 $\beta$ ，我们可以做以下推导：

这里我们可以得到的量只有 $D_{t+1}$ 和 $D_{t}$ 。也就是说，对于相同的 $C$ 和 $D_{t-1}-D_{t}$ ， $\beta$ , $\alpha$ 和 $I_{t-1}$ 可以有不同的解。不同的参数对应的模型肯定不一样，但是好在不是所有的模型都是最好的，我们可以想办法通过先找到最符合现实的模型，反过来求出这些参数值，然后使用通过这种方法求出的参数来进行预测。

思路：

$\alpha,\beta$ 和起始的 $I$ 必须先确定其中的两个，才能求第三个值。那么先确定哪个呢？

$\alpha和\beta$ 是最难估计的了，那么我们就先确定初始的感染人数吧。新型冠状病毒的潜伏期的平均值有的专家说是10天，有的说是7天，我们选择保守一点的估计，7天。也就是说：

$I_{initial} = D_{initial }\div \frac{1}{7}$

第二个参数我们选择 $\beta$ 。 $\beta$ 的取值范围应该在0-1之间，如果大于1，那么就是说同一批人在感染了另一批人之后的同一天住进了医院，这明显不符合事实，那么我们就可以用暴力的方法，将0-1的值遍历一遍，每一遍都求一个最优的 $\alpha$ ，最后看看当 $\beta$ 取哪个值的时候这三个参数是最优的

公式推导：

$D$ 关于 $\alpha$ 的导数：

设置损失函数并对 $\alpha$ 求导：

$\alpha$ 更新公式：

其中theta是学习率（learning rate）

代码实现：

模拟每天的变化：

计算损失：

更新 $\alpha$ ：

数据：

在建模的过程中最令我头疼的的就是数据了，搜遍了全网也也没有发现任何一家媒体把疫情的历史数据整理公开，虽然丁香园提供了历史数据图，但是并没有把所有的数据公开......

只有国家卫生健康委员会和央视新闻从1月19号开始每天播报确诊人数（可以从丁香园的实时播报查到：https://3g.dxy.cn/newh5/view/pneumonia_timeline?whichFrom=dxy）。也就是说，1月19号之前的数据要么根本就没有，要么就不可信......疫情可是从去年12月就开始了呀。

不管了，姑且先用这些数据吧

测试

初始化：

第一天（1月19号）的 $D$ （确诊人数）是291，假设潜伏期为7天，那么 $I$ 就是2037。 $I$ 和 $\beta$ 的取值先随便取，后面还要遍历搜索

遍历搜索：

看来当初始 $I = 2097$ , $D = 291$ , 且 $\beta=0.02$ 的时候，模型输出和真实数据拟合的是最好的。接下来把最好的 $\alpha$ 也求出来吧。（在运行代码之前还要再初始化一遍）

我们知道，当 $\alpha - \beta$ 大于0的时候，确诊人数会成指数上涨，现在看来情况依然不是很好啊

把最后拟合出来的图画出来康康：

嗯，看起来拟合的不错，模型的可信度还是有一些的

由于这世界上还没有没有任何关于 $I$ 的数据，让我们用建好的模型来估计一下 $I$ 的大小和历史变化吧

注意：这个结果是基于：模型结构没有问题，数学推导没有问题，数据没有问题，各种假设没有问题，初始人数没有问题等等才得到的。因此这张图仅供参考，本人无意制造恐慌。

根据模型输出的结果，截止到1月26号，已经有5万多人被感染了，只是这5万多人由于各种各样的原因没有被检测出来。大家要注意保护好自己呀，现在被确诊的人数可能仅仅只是所有被感染人群的冰山一角

至于什么时候情况会好转呢？现在从模型输出的数据上来看还没有好转的迹象，但是从丁香园的数据来看，疑似人数的增长已经放缓了

而且钟老已经放出话了：

也许明天就是转折点呢！

--------------------------------------------------2月5日更新

上面的求导和代码有些错误：

1）求导的时候少乘了个负1

2）代码也写的有问题，改正过代码在这里：

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有四个变化率：

接下来，我们可以写出他们变化率的表达式：

参数

最好估计的就是 $\gamma$ （康复率）和 $\varepsilon$ （死亡率）。根据丁香园的数据，

对于 $\alpha$ 和 $\beta$ ，我们可以做以下推导：

思路：

公式推导：

$D$ 关于 $\alpha$ 的导数：

设置损失函数并对 $\alpha$ 求导：

$\alpha$ 更新公式：

代码实现：

模拟每天的变化：

计算损失：

更新 $\alpha$ ：

数据：

测试

初始化：

遍历搜索：

把最后拟合出来的图画出来康康：

注意：这个结果是基于：模型结构没有问题，数学推导没有问题，数据没有问题，各种假设没有问题，初始人数没有问题等等才得到的。因此这张图仅供参考，本人无意制造恐慌。

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思路：

公式推导：

关于的导数：

设置损失函数并对求导：

更新公式：

代码实现：

模拟每天的变化：

计算损失：

更新：

数据：

测试

初始化：

遍历搜索：

把最后拟合出来的图画出来康康：

注意：这个结果是基于：模型结构没有问题，数学推导没有问题，数据没有问题，各种假设没有问题，初始人数没有问题等等才得到的。因此这张图仅供参考，本人无意制造恐慌。

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$\alpha$ 更新公式：

更新 $\alpha$ ：