96. Unique Binary Search Trees

转载: http://fisherlei.blogspot.com/2013/03/leetcode-unique-binary-search-trees.html
这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ /
2 3 1 2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况)
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i] 0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。

int numTrees(int n) {
    int *count = calloc(n+1, sizeof(int));
    count[0] = 1;
    count[1] = 1;
    
    for(int i = 2; i <=n ; i++)
        for(int j = 0; j < i; j++)
            count[i] += count[j]*count[i-j-1];
    
    return count[n];
}