正规子群和商群

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-06 12:00 被阅读0次

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1.5.2如果 $N\vartriangleleft M,M\vartriangleleft G,N$ 是否一定是 $G$ 的正规子群？
1.5.4(1)设 $N\vartriangleleft G,M$ 是 $G$ 的子群且 $N\leq M$ 则 $N_G(M)/N=N_{\overline{G}}(\overline{M})$ 这里 $\overline{G}=G/N,\overline{M}=M/N$
(2)设 $f:G\rightarrow H$ 是群同态， $M\leq G$ 试证 $f^{-1}(f(M))=KM$ 这里 $K=ker f$
1.5.6设 $N\triangleleft G,g$ 是群 $G$ 的任意一个元，若 $g$ 的阶和 $|G/N|$ 互素，则 $g\in N$
1.5.8用 $I(G)$ 表示 $G$ 的全部内自同构组成的集合，试证： $I(G)\leq Aut(G)$ 且 $I(G)\cong G/\mathbb{Z}(G)$
1.5.9试证非可换群 $G$ 的自同构群 $Aut(G)$ 不是循环群
特别地，若群 $G$ 只有素数个自同构，则 $G$ 是可换群
1.5.10用 $[G,G]$ 表示群 $G$ 的换位子群，即由所有换位子 $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1},g,h\in G$ 生成的 $G$ 的子群；记 $G^{(1)}=[G,G],G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}],\forall n>1$ 则 $G^{(n)}$ 均是 $G$ 的正规子群 $\forall n\geq 1$
1.5.11设 $N\triangleleft G,N\cap[G,G]=\{1\}$ 则 $N\leq \mathbb{Z}(G)$
1.5.12群 $G$ 的非平凡子群 $N$ 称为 $G$ 的极小子群，如果不存在子群 $B$ 使得 $1\subsetneqq B\subsetneqq N$ 试证
(2)有理数加法群 $\mathbb{Q}$ 既没有极小子群也没有极大子群
1.5.13设 $\alpha$ 是有限群 $G$ 的自同构，令 $I=\{g\in G|\alpha(g)=g^{-1}\}$ ，试证：
(1)若 $|I|>\frac{3}{4}|G|$ 则 $G$ 是 $Abel$ 群
(2)若 $|I|=\frac{3}{4}|G|$ 则 $G$ 一定有指数为2的 $Abel$ 正规子群

参考文献

冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.

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