《机器学习》线性代数回顾

3.1 矩阵和向量

参考视频: 3 - 1 - Matrices and Vectors (9 min).mkv

如图：这个是4×2矩阵，即4行2列，如为行，为列，那么即4×2

矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素（矩阵项）：

指第行，第列的元素。

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：

为四维列向量（4×1）。

如下图为1索引向量和0索引向量，左图为1索引向量，右图为0索引向量，一般我们用1索引向量。

，

3.2 加法和标量乘法

参考视频: 3 - 2 - Addition and Scalar Multiplication (7 min).mkv

矩阵的加法：行列数相等的可以加。

例：

矩阵的乘法：每个元素都要乘

组合算法也类似。

3.3 矩阵向量乘法

参考视频: 3 - 3 - Matrix Vector Multiplication (14 min).mkv

矩阵和向量的乘法如图：的矩阵乘以的向量，得到的是的向量

算法举例：

3.4 矩阵乘法

参考视频: 3 - 4 - Matrix Matrix Multiplication (11 min).mkv

矩阵乘法：

矩阵乘以矩阵，变成矩阵。

如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵和，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

3.5 矩阵乘法的性质

参考视频: 3 - 5 - Matrix Multiplication Properties (9 min).mkv

矩阵乘法的性质：

矩阵的乘法不满足交换律：

矩阵的乘法满足结合律。即：

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 或者 表示，本讲义都用 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：

对于单位矩阵，有

3.6 逆、转置

参考视频: 3 - 6 - Inverse and Transpose (11 min).mkv

矩阵的逆：如矩阵是一个矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

我们一般在OCTAVE或者MATLAB中进行计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的转置：设阶矩阵（即行列），第的元素是，即：

定义的转置为这样一个阶矩阵，满足，即 （的第行第列元素是的第行第列元素），记。(有些书记为A'=B）

直观来看，将的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到的转置。

例：

矩阵的转置基本性质: