Inverse/Implicit Function Theore

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2020-08-19 13:08 被阅读0次

Inverse/Implicit Function Theore
Scala implicit
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Xcode 9 遇到：Implicit declaration

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Chapter 4 Inverse Function Theorem

这个章节讲得很好, 还引用了庄子秋水中的一段话, 大佬啊.

4.1 The Inverse Function Theorem

映射 $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 在 $p_0$ 可微, 若存在 $DF(p_0) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 使得
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{|F(p_0+h)-F(p_0)-DF(p_0)h|}{|h|}=0.$

定理4.1(逆函数定理): 令 $F:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为一 $C^1$ 映射, 其中 $U \subset \mathbb{R}^n$ 为一开集, $p_0 \in U$ , 假设 $DF(p_0)$ 可逆, 则存在开集 $V, W$ 分别包含 $p_0, F(p_0)$ 使得 $F$ 在 $V$ 上的限制是一个双射, 且其在 $W$ 的逆映射是 $C^1$ 的. 此外, 若 $F$ 在 $U$ 上是 $C^k, 1\le k \le \infty$ 则其逆映射也是 $C^k$ 的.

首先是需要证明在 $p_0$ 附近的对应是一一的, 这用到了
$T(x)=L^{-1}(Lx-F(x)+y),$
这一压缩映射(首先得证明它是压缩映射, 同时在此过程中可确定 $W$ ).
第二步是证明逆映射的连续性, 然后是可微性.

最后 $C^k$ 的证明可由, $DF(G(y))DG(y)=I$ 得到
$DF^{-1} (y)=(DF(F^{-1}(y)))^{-1}.$

The Implicit Function Theorem

定理4.3 (隐函数定理): 设 $F:U \rightarrow \mathbb{R}^m$ 为定义在开集 $U \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 上的 $C^1$ 映射. 假设 $(p_0, q_0) \in U$ 满足 $F(p_0,q_0)=0$ , 且 $D_yF(p_0, q_0)$ 可逆. 则存在开集 $V_1 \times V_2$ 包含 $(p_0, q_0)$ 和一个 $C^1$ 映射 $\varphi:V_1 \rightarrow V_2$ , $\varphi(p_o)=q_0$ 使得
$F(x, \varphi(x))=0, \forall x \in V_1.$
若 $F$ 是 $C^k$ 的, 则 $\varphi$ 也是 $C^k$ 的, $1 \le k \le \infty$ . 此外, 此映射在所定义的开集合(似乎需要加以限制)上是唯一的.

证明考虑下列映射
$\Phi(x,y)=(x,F(x,y)),$
并利用逆函数定理.

4.3 Curves and Surfaces

这是逆函数定理和隐函数定理的一个应用, 详见原文, 内容还是很有趣的.

4.4 The Morse Lemma

non-degenerate critical point: 即一阶梯度为0, 二阶梯度(黑塞矩阵)非奇异的点.

定理4.9 (Morse引理): 令 $f$ 为一定义在 $\mathbb{R}^n$ 的一个开集上, 且 $p_0$ 为一非退化关键点( non-degenerate critical point). 则存在一个光滑的局部坐标变换 $x=\Phi(y), p_0=\Phi(0)$ 使得
$\tilde{f}(y)=f(\Phi(y))=f(p_0)-y_1^2-y_2^2-\cdots-y_m^2+y_{m+1}^2 + \cdots + y_n^2,$
其中 $m, 0\le m \le n$ 为关键点的index.

注: 原文中并没有 $f(p_0)$ 这一项, 个人认为是作者的笔误.

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