< 排序大全系列 > 归并排序总结：
导言：
在学习排序算法之前，我几乎所有的排序算法用的都是“冒泡排序法”，当我学习到数据结构的“时间复杂度”一节时深刻地感觉到了冒泡法的效率低下，所以我打算专门整理一部分笔记，用于记录排序算法的一些细节。
直观动图理解：
image
算法思想概括：
归并排序最被程序员们津津乐道的特点就是它的“分治之道”，不断地对要操作的这段数据列表进行二分，分割成小问题然后一块一块地排序，最后再一起合并。
归并排序的实现方法分为递归实现和非递归实现两种，递归主要是通过每次调用merge函数将刚刚“分而后治”的两段数据列进行融合，这也是这个单词的本意 —— 合并。
该算法的实现过程分为以下几步：
- 申请另一块和原数据列等长的空间，用于每次拼接后有地方可以放我们排序好的结果。
- 设定 两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
- 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
- 重复步骤3，直到某一指针到达序列尾
- 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾
归并排序除了可以对数组进行排序，还可以高效的求出数组小和（即单调和）以及数组中的逆序对。
算法思想个人理解：
归并排序的步骤无外乎 “分” 与 “治”（即排序）：
很多同学在学习某种算法的递归思想的时候，经常犯迷糊，不知道在递归什么，以什么样的循环逻辑在递归。当我在学习归并排序时，看到了 递归实现 的代码如下：
void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right) // 递归实现的归并排序(自顶向下)
{
if (left == right)
return;
int mid = (left + right) / 2;
MergeSortRecursion(A, left, mid);
MergeSortRecursion(A, mid + 1, right);
Merge(A, left, mid, right);
}
结合GIF动图示例，最开始时我们为了得到两个已经排好序的数组，就把这个需要排序的乱序数组不断地细分，乃至细分到只有一左一右的二元数组。
在代码层面上，当我们的程序第一次走进 MergeSortRecursion 函数的时候，就分叉了路线，有一条路走向了（ left -> mid ），而另一条路走向了（ mid+1 -> right ）。每一次新开岔路，都有每一层自己的 left、mid 和 right 。
这就好似一个从根部散发出去的二叉树，在最末端，没有岔路口可再分了，于是开始调用 Merge 函数排序并合并。
这样合并好的数组一个个拼凑，越拼越长，每一个数组都是已经排好序的。最后汇总到自根部往下数第二层的两个已经排好序的数组，再进行最后一次 Merge 函数的调用，整个归并排序就完成了。
这样一个自根部发散，有最后回到根部的过程，像极了一种 “回溯”。
各项指标：
分类 -------------- 内部比较排序
数据结构 ---------- 数组
最差时间复杂度 ---- O(nlogn)
最优时间复杂度 ---- O(nlogn)
平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
所需辅助空间 ------ O(n)
稳定性 ------------ 稳定
代码实现：
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
void Merge(int A[], int left, int mid, int right)// 合并两个已排好序的数组A[left...mid]和A[mid+1...right]
{
int len = right - left + 1;
int *temp = new int[len]; // 辅助空间O(n)
int index = 0;
int i = left; // 前一数组的起始元素
int j = mid + 1; // 后一数组的起始元素
while (i <= mid && j <= right)
{
temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++]; // 带等号保证归并排序的稳定性
}
while (i <= mid)
{
temp[index++] = A[i++];
}
while (j <= right)
{
temp[index++] = A[j++];
}
for (int k = 0; k < len; k++)
{
A[left++] = temp[k];
}
}
void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right) // 递归实现的归并排序(自顶向下)
{
if (left == right) // 当待排序的序列长度为1时，递归开始回溯，进行merge操作
return;
int mid = (left + right) / 2;
MergeSortRecursion(A, left, mid);
MergeSortRecursion(A, mid + 1, right);
Merge(A, left, mid, right);
}
void MergeSortIteration(int A[], int len) // 非递归(迭代)实现的归并排序(自底向上)
{
int left, mid, right;// 子数组索引,前一个为A[left...mid]，后一个子数组为A[mid+1...right]
for (int i = 1; i < len; i *= 2) // 子数组的大小i初始为1，每轮翻倍
{
left = 0;
while (left + i < len) // 后一个子数组存在(需要归并)
{
mid = left + i - 1;
right = mid + i < len ? mid + i : len - 1;// 后一个子数组大小可能不够
Merge(A, left, mid, right);
left = right + 1; // 前一个子数组索引向后移动
}
}
}
int main()
{
int A1[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 }; // 从小到大归并排序
int A2[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 };
int n1 = sizeof(A1) / sizeof(int);
int n2 = sizeof(A2) / sizeof(int);
MergeSortRecursion(A1, 0, n1 - 1); // 递归实现
MergeSortIteration(A2, n2); // 非递归实现
printf("递归实现的归并排序结果：");
for (int i = 0; i < n1; i++)
{
printf("%d ", A1[i]);
}
printf("\n");
printf("非递归实现的归并排序结果：");
for (int i = 0; i < n2; i++)
{
printf("%d ", A2[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
关于迭代与递归两种实现的区别：
根据 参考资料[ 4 ] 中：可视化图解，我们可以发现，在迭代实现时，程序将持续算到整个数列的最后一项，先将所有的数都规规矩矩地分好堆，再开始下一次合并，而迭代实现时，是“边排序，边合并“。
递归实现的归并排序是算法设计中分治策略的典型应用，我们将一个大问题分割成小问题分别解决，然后用所有小问题的答案来解决整个大问题。
非递归(迭代)实现的归并排序首先进行是两两归并，然后四四归并，然后是八八归并，一直下去直到归并了整个数组。
参考资料：
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https://www.bilibili.com/video/av9982752?from=search&seid=17733683898437050940
B站视频：《归并排序》uploader：正月点灯笼
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https://www.cnblogs.com/eniac12/p/5329396.html#s4
CSDN精品博客文章：常用排序算法总结(一) Posted on 2016-03-28 22:13
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https://www.bilibili.com/video/av25136272?spm_id_from=333.338.__bofqi.11
[ 简单明了 ] 9种经典排序算法的可视化示例：uploader：Howard-Z
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https://www.bilibili.com/video/av4372244?from=search&seid=17733683898437050940
[ 排序算法可视化 ] （主要选取了 当中关于 迭代与递归 两种归并排序实现的可视化部分）uploader：earayu
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