7-掘地求生-条件概率的期望

条件期望是概率论中的一个非常有意思的知识点，但是在一些课程中并不涉及到，实在是遗憾。条件期望，顾名思义，就是条件分布的期望。除此之外呢，关于条件期望的另一个非常重要的知识点是重期望公式：条件期望的期望即是其本身。我们来看个关于条件期望的有趣例子吧~

一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通一坑道，沿此坑道走3小时可到达安全区；第二个门通一坑道，沿此坑道走5小时又回到原处；第三门通一坑道，沿此坑道走7小时又回到原处。假定此矿工每次都是等可能的在这三个坑道中选择一个，试求他平均需要多少小时才能走出矿井。（茆诗松等，概率论与数理统计教程，高等教育出版社）

这个题目就是一个典型的条件期望的题目。
有关条件期望，有两个最为关键与重要的知识点：条件期望公式与重期望公式

条件期望公式：

对于离散型随机变量：
对于连续型随机变量：

重期望公式：

求解

有了这些知识，我们就可以来求解这道题目了。
当然，我们知道，直接列出矿工走出矿井的分布列是不太现实的，谁知道这个倒霉的矿工最多可以被困在井下多久。
但是我们知道，每一次他选择第i个坑道的可能性是相同的，即：

而选择每一个坑道所需时间即为条件期望，因此：



而总时间的期望与这些条件期望之间存在什么关系呢？

这个公式化简，可以求出：

意味着这个矿工平均要花15个小时才能走出坑道。换个角度理解，如果这个矿工不幸反复掉进这个矿井中，他平均要花15个小时才能走出坑道。世界上还有比这更加折磨人的事嘛！

模拟

当然，光有计算结果还是不够的，现实中矿工可没有那么多影分身，所以我们可以用Python来模拟一下。
话不多说，上代码

import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as plt 
from random import randint

iterations = 10000
x = np.arange(iterations)
y = np.zeros(iterations)

for i in range(iterations):
    result = 0
    while True:
        pick = randint(1,3)
        if pick == 1:
            result += 3
            break
        elif pick == 2:
            result += 5
        else:
            result += 7
    y[i]=result
print(sum(y)/iterations)
plt.scatter(x,y, s=0.1, color = 'g', marker = 'o')
plt.xlabel("Times of iterations")
plt.ylabel("Total time")
plt.show()

这个矿工走出矿井所需时间的分布如下图所示。模拟了10000次以后，我们可以发现这个矿工平均要花14.6小时才能走出坑道。如果他某一天运气实在太背，最多可能要花上160多个小时。

这该死的命运呵。

矿工掘地求生需要的时间