卡尔曼滤波(1)

作者: zidea | 来源:发表于2020-09-09 20:33 被阅读0次

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图

Optimal Recursive Data Processing Algorithm(最优化递归数字处理算法)
卡尔曼滤波器应用

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卡尔曼的应用是因为我们生活中存在大量不确定性，
不存在完美的数学模型
系统的扰动不可控，也很难测量
测量传感器本身存在误差

$z_k$ 表示测量结果， $k$ 表示第 $k$ 的测量。
$\begin{aligned} z_1 = 50.1mm\\ z_2 = 50.4mm\\ z_3 = 50.2mm \end{aligned}$

$\hat{x}_k = \frac{1}{k}(z_1,z_2,\cdots,z_k)$

$\begin{aligned} \hat{x}_k = \frac{1}{k}(z_1,z_2,\cdots,z_k) \\ = \frac{1}{k}(z_1,z_2,\cdots,z_{k-1}) + \frac{1}{k}z_k \\ = \frac{1}{k}\frac{k-1}{k-1}(z_1,z_2,\cdots,z_{k-1}) + \frac{1}{k}z_k \\ = \frac{k-1}{k} \hat{x}_{k-1} + \frac{1}{k}z_k \\ = \hat{x}_{k-1} - \frac{1}{k}\hat{x}_{k-1} + \frac{1}{k}z_k\\ = \hat{x}_{k-1} + \frac{1}{k}(z_k - \hat{x}_{k-1}) \end{aligned}$

随着 $k$ 不断增加， $\frac{1}{k}$ 逐渐趋近于 0 ， $\hat{x}_k$ 也就是逐渐趋近于 $\hat{x}_{k-1}$ ,也就是随着 $k$ 增加，测量的结果也就不再重要了。关于这个结论我们解释一下，就是随着测量次数增加，我们对估计值已经很有信心，这时候测量值也就显得不那么重要。
当 $k$ 较小时候， $z_k$ 起的作用就比较大。

$\begin{aligned} K_k = \frac{1}{k} \\ \hat{x}_{k-1} + K_k(z_k - \hat{x}_{k-1}) \end{aligned}$

$就是当前的估计值 = 上一次的估计值 + 系数 \times (当前测量值 - 上一次估计值)$
这里的 $K_k$ (Kalman Gain) 卡尔曼增益，也叫做卡尔曼滤波。从公式来看 $x_k$ 是于上一次的 $x_{k-1}$ 有关，这就是一种递归的思想。

我们先引入估计误差 $e_{EST}$ 这里 EST 表示估计，而 e 表示误差，然后引入一个测量误差 $e_{MEA}$ 其中 MEA 表示测量 e 同样在这里也表示误差。

$K_k = \frac{e_{EST_{k-1}}}{e_{EST_{k-1}} + e_{MEA_k}}$

在 k 时刻情况 $e_{EST_{k-1}} \gg e_{MEA_k} \, K_k \rightarrow 1 \, \hat{x}_k = \hat{x}_{k-1} + z_k - \hat{x}_{k-1} = z_k$
在 k 时刻情况 $e_{EST_{k-1}} \ll e_{MEA_k} \, K_k \rightarrow 0 \, \hat{x}_k = \hat{x}_{k-1}$