图

在线性表中，每个元素之间只有一个直接前驱和一个直接后继，
在树形结构中，数据元素之间是层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。

但这仅仅都只是一对一，一对多的简单模型，如果要研究如人与人之间关系就非常复杂了。

一、图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

图中，小蝌蚪表示顶点V，小蝌蚪放在一块就是一个V的集合；
顶点与顶点之间的连线称为边，所有的边放在一起就是E（边的集合）。

图.png

对于图的定义，我们需要明确几个注意的地方：

• 线性表中我们把数据元素叫元素，
  树中叫结点，
  在图中数据元素我们则称之为顶点(Vertex)。
• 线性表可以没有数据元素，称为空表，
  树中可以没有结点，叫做空树，
  而图结构强调顶点集合V要有穷非空。
• 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，
  树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，
  而图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

1.无向边

无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶(Vi,Vj)来表示。

无向边.png

上图G1是一个无向图，G1={V1,E1}，其中
V1={A,B,C,D}，
E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

2.有向边

有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧(Arc)，用有序偶<Vi,Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

有向边.png

上图G2是一个无向图，G2={V2,E2}，其中
V2={A,B,C,D}，
E2={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}

3.简单图

简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

以下两个则不属于简单图：

AD同一条边重复出现.png A指向了自己.png

4.无向完全图

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。

无向完全图.png

5.有向完全图

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。

有向完全图.png

6.稀疏图和稠密图

稀疏图和稠密图：这里的稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的，通常认为边或弧数小于n*logn（n是顶点的个数）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
有些图的边或弧带有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)，带权的图通常称为网(Network)。

网.png

假设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果V2⊆V1，E2⊆E1，则称G2为G1的子图(Subgraph)。

子图.png

二、图的顶点与边之间的关系

1.无向图顶点与边之间的关系

对于无向图G=(V,E)，如果边(V1,V2)∈E，则称顶点V1和V2互为邻接点(Adjacent)，即V1和V2相邻接。边(V1,V2)依附(incident)于顶点V1和V2，或者说边(V1,V2)与顶点V1和V2相关联。

顶点V的度(Degree)是和V相关联的边的数目，记为TD(V)，如下图，顶点A与B互为邻接点，边(A,B)依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。

无向图顶点与边之间的关系.png

2.有向图顶点与边之间的关系

对于有向图G=(V,E)，如果有<V1,V2>∈E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。
以顶点V为头的弧的数目称为V的入度(InDegree)，记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度(OutDegree)，记为OD(V)，因此顶点V的度为TD(V)=ID(V)+OD(V)。
下图顶点A的入度是2，出度是1，所以顶点A的度是3。

有向图顶点与边之间的关系.png

无向图G=(V,E)中从顶点V1到顶点V2的路径(Path)。
下图用红线列举了从顶点B到顶点D的四种不同路径：

无向图BD的四种不同路径.png

如果G是有向图，则路径也是有向的。
下图用红线列举顶点B到顶点D的两种路径，而顶点A到顶点B就不存在路径：

有向图顶点BD的两种路径.png

• 路径的长度是路径上的边或弧的数目。
• 第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。
• 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
• 下图左侧是简单环，右侧不是简单环：

简单环与非简单环.png

三、连通图

1.无向的
在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果对于图中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图(ConnectedGraph)
下图左侧不是连通图，右侧是连通图：

非连通图与连通图.png

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
注意以下概念：

• 首先要是子图，并且子图是要连通的；
• 连通子图含有极大顶点数；
• 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

连通分量.png

2.有向的
在有向图G中，如果对于每一对Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。
有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
下图左侧并不是强连通图，右侧是。并且右侧是左侧的极大强连通子图，也是左侧的强连通分量。

强连通分量.png

3.连通图的生成树定义

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

连通图的生成树定义.png

如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。

有向树.png