逻辑回归(Logistic Regression) 总结

作者: Zero黑羽枫 | 来源:发表于2019-02-28 23:04 被阅读0次

逻辑回归(Logistic Regression)
SKlearn_逻辑回归小练习
机器学习笔记1_逻辑回归
第二十二章 logistic regression 算法（上）
tensorflow logistic回归模型
分类算法（1）-LR逻辑回归
机器学习100天-Day4-6逻辑回归
逻辑斯蒂回归在二分类中的应用
Logistic Regression逻辑斯蒂回归
案例

本文是我在学习了逻辑回归课程之后的总结，文中所阐述的内容仅仅是我个人的理解，如有错误或疏漏，欢迎大家批评指正。

1.逻辑回归的假设函数

在分类问题中，二分类问题有着很重要的地位，例如在判断某人是否得某种病，或者某封邮件是否为垃圾邮件等等的场景中都会用到。考虑二分类问题，对于任意输入，输出结果应该只有两种情况，即 $\left\{ 0, 1 \right\}$ ，我们要找的假设函数 $h(x)$ 需要符合这个标准，由此引入 logistic function:

$g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$
他的函数图像:

图像是一条形如“S”的曲线
假设函数可以写为:

$h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$

让我们来理解一下，假设函数输出的是一个 (0, 1) 之间的数，可以把这个数看作是 $y$ 为 1 的可能性，如果假设函数的输出为 $0.9$ ，可以认为这一组样本的输出结果为 1 的概率就比较大。由此可以写出下面的式子

$P(y=1|x;\theta)=h_{\theta}(x)=g(\theta^{T}x)$
$P(y=0|x;\theta)=1-P(y=1|x;\theta)=1-h_{\theta}(x)=1-g(\theta^{T}x)$
这两个式子可以合并为一个式子，无论在 $y$ 为 0 或者 1 时都成立:

$P(y|x;\theta) = h_{\theta}(x)^{y} (1-h_{\theta}(x))^{1-y}$
·

2.最大似然估计(Maximum Likehood Estimation, MLE)

最大似然估计的意思是在模型已经确定的情况下，求解最有可能让这个模型出现的参数，这是一个逆推的过程。常用八个字概括“模型已定，参数未知”。
根据最大似然估计，写出似然函数，通俗来说就是你拿到的这个模型长这样，这件事发生的概率是多少呢，用似然函数来表示:

$L(\theta) = \prod_{i=1}^{m} P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)$
$=\prod_{i=1}^{m} h_{\theta}(x^{(i)})^{y^{(i)}} (1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$
取对数:
$l(\theta) = log(L(\theta))=\sum_{i=1}^{m}{(y^{(i)}log h_{\theta}(x^{(i)})+ (1-y^{(i)}) log (1-h_{\theta}(x^{(i)})) )}$
我们的目标是让模型长成这个样子的概率最大，可以更好的拟合这个模型，即求:
$max_{\theta} l(\theta)$
·

梯度下降

根据上节课所学的梯度下降法，求 $l(\theta)$ 的偏导数，下面是偏导数的数学公式推导，有兴趣的同学可以自己推导一遍:

$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_{j}} = \sum_{i=1}^{m}{(y^{(i)} \bullet \frac{1}{ h_{\theta}(x^{(i)} ) } \bullet \frac{\partial h_{\theta}(x^{(i)})}{\partial \theta _{j}} + (1-y^{(i)}) \bullet \frac{1}{1- h_{\theta}(x^{(i)})} \bullet -\frac{\partial h_{\theta}(x^{(i)})}{\partial \theta _{j}}})$
$=\sum_{i=1}^{m}{ (\frac{\partial h_{\theta}(x^{(i)})}{\partial \theta _{j}} \bullet \frac{y^{(i)} - h_{\theta}(x^{(i)}) }{ h_{\theta}(x^{(i)}) \bullet (1- h_{\theta}(x^{(i)}) ) }) } ·································· ( 1 )式$
把里面一个求导拿出来求解，注意是对 $\theta _{j}$ 求导，只有 $\theta _{j}$ 是变量，其他都是常量:

$\frac{\partial h_{\theta}(x^{(i)})}{\partial \theta _{j}} =\frac{\partial}{\partial \theta _{j}} (\frac{1}{1+e^{-\theta ^{T}x}})$
$= \frac{ x_{j} e^{\theta ^{T} x^{(i)} } }{(e^{\theta ^{T} x^{(i)} } +1 )^{2} }$
$= x_{j} \bullet \frac{ e^{\theta ^{T} x^{(i)} } }{e^{\theta ^{T} x^{(i)} } +1 } \bullet \frac{ 1 }{e^{\theta ^{T} x^{(i)} } +1}$
$=x_{j } \bullet h_{\theta}(x^{(i)}) \bullet (1-h_{\theta}(x^{(i)})$
结果带入( 1 )式，得到:

$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_{j}} = \sum_{i=1}^{m}{(y^{(i)} - h_{\theta} (x^{(i)}))} \bullet x_{j}^{(i)}$
参数 $\theta _{j}$ 的更新方式为:

$\theta _{j} := \theta _{j} - \alpha \sum_{i=1}^{m}{(y^{(i)} - h_{\theta} (x^{(i)}))} \bullet x_{j}^{(i)}$

我自己理解其实式子里 $\alpha$ 前面的正负其实无所谓，当你沿着梯度方向反向下降时，不就是梯度上升，那么就可以找到最大值了。

至此，逻辑回归的原理总结完了，这个分类算法很特别，它不是简单输出一个类别，它输出的是一个可能性，希望这篇文章可以帮助你学习这个特别的分类算法。如果你觉得有用的话不妨点个赞哦。

最后，求赞求关注，欢迎关注我的微信公众号[MachineLearning学习之路] ，深度学习 & CV 方向的童鞋不要错过！！

逻辑回归(Logistic Regression)
1 逻辑回归（Logistic Regression）逻辑回归（Logistic Regression，简称LR...
SKlearn_逻辑回归小练习
逻辑回归逻辑回归（Logistic regression 或logit regression），即逻辑模型（英语...
机器学习笔记1_逻辑回归
@[toc] 1 Logistic Regression Logistic Regression 逻辑回归，简称L...
第二十二章 logistic regression 算法（上）
逻辑回归（LogisticRegression） Logistic regression（逻辑回归）是当前业界比较...
tensorflow logistic回归模型
logistic定义对数几率回归（也称“逻辑回归”）（英语：Logistic regression 或logit...
分类算法（1）-LR逻辑回归
Logistics regression Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的...
机器学习100天-Day4-6逻辑回归
逻辑回归（Logistic Regression）什么是逻辑回归逻辑回归被用于对不同问题进行分类。在这里，逻辑...
逻辑斯蒂回归在二分类中的应用
逻辑回归简介逻辑斯蒂回归（logistic regression，又称“对数几率回归”）是经典的分类方法。逻辑斯...
Logistic Regression逻辑斯蒂回归
Welcome To My Blog title: Logistic Regression逻辑斯蒂回归date: ...
案例
Python实现逻辑回归(Logistic Regression in Python)http://www.pow...