线性代数笔记35[系列结束]

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-03-30 17:36 被阅读0次

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（1）
$Ax=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]$ 无解
$Ax=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right]$ 只有一个解
a. 求 m n r 确定A
答：m=3
第一行无解，说明不是行满秩r<m
第二行，说明列满秩，r=n
所以 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right]$
或者 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$

b.判断 $det(A^TA)=det(AA^T)$
$A^TA$ 是nxn，满秩方阵，可逆，行列式不为零
$AA^T$ 是mxm，不满秩，不可逆，行列式为零，所以肯定不相等
c. $AA^T$ 是否正定
不满秩，对角化后对角线上又0存在，肯定不正定
d. $A^Ty=c$ 至少存在1个解，对于每一个c
$A^Ty=c$ 存在无穷个解，对于每一个c
对于 $A^T$ 行满秩n=r，它的零空间维数是m-r，所以又无穷多解

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矩阵具有特征值0和3，对应的特征向量分别为[1;2],[2;1]，求原矩阵A
$A=S^{-1} \Lambda S=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ 1 \end{array}} \right]$ , $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right]$
求投影p，(b到A的列空间的投影)
将 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat C}\\ {\hat D} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right]$ 带入可得 $\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ { - 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {11/3}\\ {8/3}\\ {5/3} \end{array}} \right]$
就是Pb
看成的直线的是y=C+Dx，然后分别在[0,1,2]上对应的点是[3,4,1]

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系列结束。

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