指数移动平均EMA

作者: ltochange | 来源:发表于2021-05-22 15:29 被阅读0次

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定义

来自维基百科

指数移动平均（exponential moving average，EMA或EWMA）是以指数式递减加权的移动平均。各数值的加权影响力随时间而指数式递减，越近期的数据加权影响力越重，但较旧的数据也给予一定的加权值

设时刻 ${t}$ 的实际数值为 $\theta_{t}$ , 时刻 $t$ 的EMA为 $v_{t}$ ,时刻 ${t-1}$ 的EMA为 $v_{t-1}$ ，计算时刻 ${t≥2}$ 的指数移动平均公式为：

$v_{t}=\beta v_{t-1}+(1-\beta) \theta_{t}$

$\beta$ 是可调节的参数，处于0-1之间，一般大于0.5

推导

一般情况下计算截至时刻 $t$ 的平均值：

$\mathrm{s}_{\mathrm{t}}=\frac{\theta_{1}+\theta_{2}+\ldots+\theta_{\mathrm{t}}}{\mathrm{t}}$

$v_{t}$ 是如何表示指数移动平均的呢？

假设 $\beta=0.9$ ， $v_{0}=0$

$v_{t}=0.9v_{t-1}+0.1\theta_{t}$

$v_{t-1}=0.9v_{t-2}+0.1\theta_{t-1}$

$v_{t-2}=0.9v_{t-3}+0.1\theta_{t-1}$
$...$
$v_{1}=0.9v_{0}+0.1\theta_{1}$

逐层向上代入：

$v_{t}=0.1*(\theta_{t} + 0.9*\theta_{t-1}+0.9^2\theta_{t-2}+{...}+0.9^{t-1}\theta_{1})$

这里 $v_{t}$ 实际上是对时刻 ${t}$ 之前(包括 ${t}$ )实际数值的加权平均,时间离得越远,权重越小,而且是指数式递减的，所以又叫做指数加权移动平均EWMA。

意义

与一般的加权平均相比，使用指数移动平均的好处在于：

不需要保存前面所有时刻的实际数值，并且在计算 $v_{t}$ 的过程中是逐步覆盖的，因此可以减少内存的占用
在有些场景下，其实更符合实际情况的，例如股票价格，天气等，上一个时间步对当前时间步影响最大

偏差修正

当假设 $v_{0}=0$ 时，刚开始的几个时间步的 $v_{t}$ 的数值是非常小的，因为缺乏足够多的前面时刻的数据。

$v_{1}=0.1\theta_{1}$
$v_{2}=0.1*0.9*\theta_{1} + 0.1\theta_{2}$

与 ${t=1}$ , ${t=2}$ 的平均值 $s_{1}$ , $s_{2}$ 相差非常大，因此需要加入偏差修正项，使得：

$v_{t} = \frac{v_{t}}{1-\beta^t}$

随着时间步 ${t}$ 增大,修正项 ${1-\beta^t}$ 趋近于0

参考

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