6.1语句与公式-数学方式

6数学与计算

6.1语句与公式

数学是种超级语言，这是从符号方式来说的。与数学“计量”方式相对应，自然语言里是用“约定”来关联能指与所指的。约定方式问题之一是主观性：为什么形成这样的概念，为什么这样分类，为什么这样划分，总是容易产生争论。伴随约定主观性的是任意性，命名出的符号它们的所指相互间可以交叉与重叠，因为可由任意的视角进行命名的，比如中文里的词汇：物料、物资、资产、存货、物品、商品。自然语言的每一约定都是具体的。约定上的发散对应的是理解上的复杂。举例来说。一个城市的3D地图与这个城市本身是直接同构的映射，中间只隔着比例的换算。一个城市的2D地图与这个城市本身也是一种同构的映射，2D地图里的海拔高度表现为了一种颜色的深浅，这样你对高度的了解就需要从颜色转换过来，这比3D地图就复杂了一些。自然语言中符号对事物的反映更麻烦些，文字符号是视觉性的，所要反映的事物可能是听觉的、味觉的、触觉、想象的等，另外现实是四维时空里的事件，目前表述需要压缩成一维的符号流，这都是靠约定来支撑的，而约定是无理据的，这样在理解合成真实的图景时就需要心智进行各不相同的很多转换与关联。

数学应用是以数学中的量表示领域里的概念，以量的数学公式表示领域内的规律，由相互关联的一组量与一组数学公式构成一个系统的核心。万有引力定律用语句表述是：自然界中任何两个物体相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。用公式表示是：F=（Gm1m2）/r²。语句的表述首先需要准确地选用词汇，关键的词汇需要选择完整，上面常见的万有引力语句表达中直接忽略了引力常数G。词汇形成语句时，每一陈述句都有主语，也就是焦点化，每一子句倾向于降解到单一维度单一关系来讲解，这样稍微复杂的一点的事件，就得生成多个子句来描述，然后大脑需要把分散的多个符号串描述合成一个可理解的图景。显然，数学公式的表示是简洁、准确的。

完全自然语言的方式，语句都是临时组合出的，语句之下的素材才是固定存在的。表达意义的语句，可以是多种多样的语句，没有一定要使用的固定结构，比如可以表达成主动句，也可以表达成被动语句，那些典型的屈折语种如希腊语中，单词的位置并不重要，它们可以以相对随意的顺序出现，通常重要的部分放前面，不重要的放后面，词的屈折形式会表达出格的概念，替代语序的作用。

数学的表述中，符号与公式来自某个或几个数学分支，以一个公式来说，它是某数学分支一类公式的一个特例。继承自数学分支的公式本身是一个整体：有固定的结构与内部计算关系，每个符号的位置与其它符号的计算关系是固定的。每一位置上的符号形式是什么样，单独就此公式来说只有形式方便的影响没有实质的影响，它们只是占位符而已，具备这种特性，数学可称为关系型语言，相比较，自然语言可称为是对象式的语言，它识别对象进行命名，通过对象词汇的组合来进行描写。

领域语言的数学公式，揭示了领域的规律。这种规律是通过概括、抽象，以数学来阅读世界得到的，反映的是纷乱现象背后的秩序。这与常识的认知不一样的。空气中不同物体自由下降时的速度是不一样，直观观察能得出的结论是质量大、比重大的物体下降速度更快。排除空气浮力的影响，物体的下落与质量、比重无关，自由落体遵循v=gt这样的公式，其中g为引力常数，这是对物体下落运动的核心认知，在这基础上再考虑空气、下落物体的性质对运动的影响，这是可理解的路径。

领域语言里的数学符号、公式，以及它们数学上关联着的内容，决定了领域里数学符号、公式的操作，包括了公式可以进行的转换，以及可进行的数值计算，这种对操作的规定可视为语法。这样数学公式一方面是领域规律的揭示，另一方面数学公式及相关内容自带了符号操作的规则，二方面是合二为一的。相对照，自然语言的表述方式里，语言的语法规则是表述规则，领域的规律是属于表述内容的，这是分开的二个方面。

数学化的领域从核心的量与公式出发推演出其它的符号、公式，形成一个系统，用于解释某一领域可观察到的现象，这个系统也就构成该领域的语言。应用时，是通过领域语言的数学公式实例来为具体问题建模，通过模型中公式的演算来解决问题，领域内所有具体的问题上我们并不需要构建新的符号形式。具备这样的机制，类似自然语言中组合、复合机制也没必要了。建模完成后，领域现象的任一状态可以体现为这些公式各个量上的一个特定取值组合，反过来，各个量在其值域范围的符合领域公式的一个取值组合，是领域现象可能的一个状态。

数学公式是不同符号表示的相关量，通过计算符连接成不同的式，再用等号、不等号连接组成公式，公式在确定自变量后，可以计算出因变量。由数学一个或多个公式实例建立的一个模型，可以通过公式从一些已知量计算出其它一些未知量。条件所限无法实施测量的量，建立与可测量的量的数学公式，就可能通过数学公式计算得出量值。如果时间是公式里的一个自变量时，通过公式运算得到其它量的值，我们也就可以推知现象的过去与将来。

你可以尝试用任何一种自然语言去做些数学运算，比如笔算一下：328*975，用中文表示的算式是：参佰貮拾捌乘玖佰柒拾伍，这是最简单一类的计算，相信你不愿意尝试下去，但这是古人面临的真实情况，最初的数学主要也是以文字来表示的。以代数为例，最早的代数都是一个一个具体的问题，问题的求解也是各自独立的方法，问题描述与解题过程的描述都是文字的叙述，这时的代数也称为修辞代数。古希腊时期，亚历山大港的数学家丢番图（Diophantus，246-330）开始自觉地应用从文字缩写或简写得到的符号，并使用字母来代表未知数，他开创的代数也称为缩写代数。现代意义上符号代数，以字母来代表已知数、未知数，应用特定的运算符号以及等号的代数，是文艺复兴时产生的，早期重要的倡导者是法国数学家韦达（法语François Viète，1540－1603），他被称为现代代数符号之父。符号上的变化带来的研究上的变化，以前一个一个的具体问题可以归为不同类型的方程，每类方程也都有统一的解题方法。

没有算术的技术，我们对数量的识别只能到“3”，更大的数字，自然语言只停留在下列词汇上进行描述：大小，长短、轻重、稍大、稍小、稍轻、稍重……。这也是直观的思维配合自然语言所达到认知的面貌：粗线条的、含糊的。完善的数学化领域语言，可以是完备且精确的，这也源于数学特性。举例来说，长度的测量，结果都会对应一个实数数值。你可以去怀疑是否任一个实数数值在现实中都能找到一个对应的实际长度，但你不用担心测量的结果没有数字对应，数的构造应用了无限的概念，其实现的效果是：实数是无限且致密的。一类现象适用于比如二元一次方程来描述，二元一次方程实例上的不同只是系数与常数上的不同，可能实例的系数与常数，同样不用担心超出实数的范围。数学家是基于内在的逻辑，研究各种可能的数量关系。

一个数学分支里的同一类公式，可应用于多个不同的领域。应用于经典物理学里的微积分，在经济学领域也被用来进行边际与弹性的分析，求解各种经济问题中最佳效益值等。从赌博发展出的统计学，广泛应用于经济学、社会学，今天又成为人工智能研究的核心工具。世界可以为人类所理解，因为它本质上是相似与重复的，这种相似与重复呈现出各种模式，数学就是构造有效模式的学科，更惊奇的是，数学所能提供的模式往往是提前预置好的。

（作者（LQS）注：连续地阅读会发现，系列的文章不是对各个问题的解释，而是新的理解视角）