62.不同路径

题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

image.png

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

思路
　　其实就是个高中的组合数学的问题。

m*n的棋盘，一共需要走(m-1)+(n-1)步，向右走m-1步，向下走n-1步，这(m-1)+(n-1)步中，只要确定了哪些步向右，即同时确定了哪些步向下走，反之亦然。

答案即C(m+n-2,m-1)或C(m+n-2,n-1)

#include <iostream>
using namespace std;
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        double res = 1;
        for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
        {
            res *= (double(m + i - 1) / double(i));
        }
        return (int)round(res);
    }
};

int main(int argc, char* argv[])
{
    int m = 7, n = 3;
    auto res = Solution().uniquePaths(m, n);
    return 0;
}

方法二
对于格点(i,j)。由于只能从上格点(i-1,j)或左格点(i,j-1)到达，并且两者路径是不重复的
因此path[i][j] = path[i-1][j]+path[i][j-1]

    int uniquePaths2(int m, int n)
    {
        vector<vector<int>>path(m, vector<int>(n, 1));
        for (int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                path[i][j] = path[i - 1][j] + path[i][j - 1];
            }
        }
        return path[m - 1][n - 1];
    }

方法三
这种方法会报错，除数为0

class solution2
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n)
    {
        return fac(m + n - 2) / (fac(m - 1) * fac(n - 1));
    }
    int fac (int  a)
    {
        if (a <= 1) return 1;
        else return a * fac(a - 1);
    }
};