11.余弦定理

余弦定理是勾股定理最自然的推广。勾股定理讲了，直角所对的边，其上正方形与另外两边上正方形面积的关系。

那么，如果不是直角三角形？而是钝角三角形或者锐角三角形，又该如何呢？

首先，给定两边，让它们的夹角可以自由的运动。那么，第三边的长度会发生变化。《原本》第一卷第24命题定性讲解了这种变化。该命题被形象的称为“剪刀定理”，“剪刀定理”指出，张开的角度越大，第三边就越大。张开的角度越小，那么，第三边的长度越小。

那么，具体会大多少？或者小多少呢？《原本》在第二卷第12命题和第13命题详细讲解了。这个差值也通过面积来衡量。而非线段自身的长度。

张开的角度如果比直角大，那么，第三边上的正方形面积就变大，变大的面积可以用一个矩形面积的两倍来表示，矩形由夹角的一边和它在另一边上的投影线段构成。

张开的角度如果比直角小，那么，第三边上正方形面积就变小，变小的面积也是如此表示。

因此，《原本》第一卷第47命题，连同第二卷第12命题，第13命题合成现代的余弦定理。在规定一个角的余弦以后，投影线段可以用或正或负或0的数值或来表示，自动把这三种情况统一了。

余弦定理

在三角形ABC中，设A,B,C三个角所对的边分别为a,b,c，那么

余弦定理证明

则三个点的坐标如下,

由两点间距离公式有：

两边平方并整理，得到

即为

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