Fermi黄金规则

作者: 蓝色樱花雨谭小英 | 来源:发表于2022-08-31 11:19 被阅读0次

Fermi黄金规则(Fermi's golden rules)是一个描述量子体系从一个能量本征态到另一个能量本征态的转换率(transition rate)的公式。基本定义是：
$\Gamma _ { i \rightarrow f } = \frac { 2 \pi } { \hbar } |\langle f | H ^ { \prime } | i \rangle | ^ { 2 } \rho$
其中 $\Gamma_{i\rightarrow f}$ 表示转换率，是指单位时间的转换概率， $i$ 代表初态， $f$ 代表末态， $\left\langle f\left|H^{\prime}\right|i\right\rangle$ 表示矩阵元。或者更一般的，转化率是振幅 $\mathcal{M}$ (amplitude，即矩阵元)的平方和相空间(phase space)的乘积。

衰变的黄金规则

对于一个会衰变的粒子，衰变率(decay rate)是指该粒子在单位时间内衰变的概率，记为 $\Gamma$ ，满足关系： $\mathrm{d}N=-\Gamma N\mathrm{d}t$ ，其中 $N$ 为 $t$ 时刻该粒子的数目。假如该粒子有多种衰变模式，那么第 $i$ 种模式的分支比(branching ratio)定义为：
$\mathcal{B}=\frac{\Gamma_i}{\Gamma_{\mathrm{tot}}}$

其中 $\Gamma_{\mathrm{tot}}$ 满足： $\Gamma_{\mathrm{tot}}=\sum^n_i\Gamma_i$ ，是各种衰变模式对应的衰变率之和。

假设一个静止的粒子衰变成多个末态粒子： $1\to 2+3+\cdots+n$

那么衰变率为：
$\Gamma=\frac{S}{2\hbar m_1}\int|\mathcal{M}|^2(2\pi)^4\delta^4(p_1-p_2-p_3-\cdots-p_n)\times\prod^n_{j=2}2\pi\delta(p_j^2-m_j^2c^2)\theta(p_j^0)\frac{d^4p_j}{(2\pi)^4}$

其中 $\mathrm{d}\Phi_{n-1}=(2\pi)^2\delta^4(p_1-p_2-p_3-\cdots-p_n)\times\prod^n_{j=2}2\pi\delta(p_j^2-m_j^2c^2)\theta(p_j^0)\frac{d^4p_j}{(2\pi)^4}$ 便是 $(n-1)$ 个粒子的相空间微元。 $m_j$ 是第 $j$ 个粒子的质量， $S$ 是一个与末态全同粒子有关的因子， $\mathcal{M}$ 为振幅， $p_i$ 表示第 $i$ 个粒子的四动量， $\delta(x)$ 表示Dirac Delta函数， $\theta(x)$ 表示阶跃函数。关于上式的处理可参考相关文献，最终得到：
$\Gamma =\frac{S}{2\hbar m_1}\int|\mathcal{M}|^2(2\pi)^2\delta^4(p_1-p_2-p_3-\cdots-p_n)\times\prod^n_{j=2}\frac{1}{2\sqrt{\boldsymbol{p}^2_j+m_j^2c^2}}\frac{d^3\boldsymbol{p_j}}{(2\pi)^3}$

其中 $\boldsymbol{p}_j$ 表示第 $j$ 个粒子的动量矢量，另外有 $p_j^0=\sqrt{\boldsymbol{p}_j^2+m_j^2c^2}$ 。

而我们关心的衰变衰变过程都是两体衰变，所以我们对两体衰变的衰变率进行计算，最终得到：
$\Gamma = \frac{S|\boldsymbol{p}|}{8\pi\hbar m_i^2c}|\mathcal{M}|^2$

其中 $|\boldsymbol{p}|$ 是出射粒子的动量矢量，由于动量守恒，两个出射粒子的动量大小相等； $M$ 是振幅，此时振幅只与出射粒子动量大小有关。

另外补充关于 $S$ 的说明：如果末态有 $s$ 个全同粒子，那么 $S$ 中就有一个因子 $(1/s!)$ 。比如对于过程： $a\to b+b+b+c+c$ 。全同粒子 $b$ 有 $3$ 个，贡献一个因子 $(1/3!)$ ；全同粒子 $c$ 有 $2$ 个，贡献一个因子 $(1/2!)$ 。最终 $S=(1/3!)(1/2!)=1/12$ 。

散射的黄金规则

在经典力学中我们就已经了解了微分散射截面(the differential scattering cross-section)的定义：
$D(\theta)=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=|\frac{b}{\sin{\theta}}(\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta})|$

如果定义亮度 $\mathcal{L}$ (luminosity)，表示单位时间单位面积上经过的粒子数。则微分散射截面可以写成：
$D( \theta)=\frac{\mathrm{d}N}{\mathcal{L}\mathrm{d}\Omega}$

假设粒子 $1$ 和粒子 $2$ 散射后，末态粒子为 $3$ ， $4$ ， $\cdots$ ， $n$ ： $1+2\to 3+4+\cdots+n$

则散射截面为：
$\sigma=\frac{S\hbar^2}{4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-(m_1m_2c^2)^2}}\int|\mathcal{M}|^2(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p_3-\cdots-p_n)\times\prod^n_{j=3}2\pi\delta(p_j^2-m_j^2c^2)\theta(p_j^0)\frac{d^4p_j}{(2\pi)^4}$

符号的意义同衰变的黄金规则。我们经过同样的处理，得到：
$\sigma=\frac{S\hbar^2}{4\sqrt{(p_1\cdot p_2)^2-(m_1m_2c^2)^2}}\int|M|^2(2\pi)^2\delta^4(p_1+p_2-p_3-\cdots-p_n)\times\prod^n_{j=3}\frac{1}{2\sqrt{\boldsymbol{p}^2_j+m_j^2c^2}}\frac{d^3\boldsymbol{p}_j}{(2\pi)^3}$

其中 $p_j^0=\sqrt{\boldsymbol{p}_j^2+m_j^2c^2}$ 。

我们在质心系下讨论两体散射过程，即 $1+2\to3+4$ ，得到微分散射截面的表达式为：
$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=(\frac{\hbar c}{8\pi})^2\frac{S|\mathcal{M}|^2}{(E_1+E_2)^2}\frac{|\boldsymbol{p}_f|}{|\boldsymbol{p}_i|}$