1、第一章 概率的定义

1.1 什么是概率

概率被定义为一个三元组问题：(Ω,F,P)，重点是要学会从上帝的视角理解概率问题。

上帝视角

这里的关键，是将概率问题想象为面积问题。假设平面上每一个点都是不同的世界，平面的总面积为1。然而，每个世界中发生的事件都不相同，骰子在第一个世界结果为1，在另一个世界可能为5。每个世界有自己特定的剧本，对每个世界来说，所有的结果都已经确定，不存在任何随机事件。

如何从上帝视角理解概率问题？比如对抛掷一枚硬币来说，最简单的方法就是数一数正面向上的世界数量占总的世界数量的比例。不过平面上平行世界的数量是数不过来的，因此我们将去测量具有相同结果的平行世界所形成的面积。如果假定正面向上的世界（这些世界的剧本上写有硬币正面向上这样的情节）为白色，反面向上为黑色，结果如下。白色区域的面积为0.5，也就是说正面向上的概率为0.5：

在上帝的视角下，概率三元组问题：(Ω,F,P)如下解释：

人类的视角与上帝视角的转换
从人类的视角看，由于人类不知道自己所处的是哪一个平行世界，因此也无法知道所发生的确切结果，人类视角与上帝视角的转换关系如下：

1.2 随机变量

随机变量是一种会随机改变的不确定量。同概率问题一样，我们同样从上帝视角理解这个问题：

从人类的视角看，由于我们不确定自己属于哪个平行世界， 因此无法得知f(w)的值。但一旦确定了自己所处的平行世界，那么随机变量的值就确定了。

随机变量通常用大写字母X，Y表示。

1.3 概率分布

从上帝视角看，概率分布即各区域的面积，举个例子：

我们可以用下面的式子来呈现概率分布表：

2、第二章 多个随机变量之间的关系

2.1 联合概率与边缘概率

联合概率和边缘概率的转换关系如下：

2.2 条件概率

联合分布，边缘分布与条件分布的关系：

条件联合分布可以进行分解：

2.3 贝叶斯公式

贝叶斯公式如下：

贝叶斯公式的推导如下：

2.4 独立性

事件的独立性

即一个事件发生的概率与另一个事件发不发生没有关系。

事件独立性的等价表达：

随机变量的独立性