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SVD奇异值分解(2)定义与例子

SVD奇异值分解(2)定义与例子

作者: 瀚文文文问问 | 来源:发表于2022-04-12 18:58 被阅读0次

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1.奇异值分解
定理：
设A\in C^{m\times n}_{r}(r>0)，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得
U^{H}AV=\begin{bmatrix} \sum & O \\ O & O \\ \end{bmatrix} (1)
其中\sum=diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{r})，而\sigma_{i}(i=1,2,...,r)，为A的非零奇异值，则可以将(1)改写成(改写方法只利用了U、H是酉矩阵，所以共轭转置等于逆)：
A=U\begin{bmatrix} \sum & O \\ O& O\\ \end{bmatrix}V^{H}(2)
(2)式被称为奇异值分解。
这里C的上标是mxn这说明奇异值分解可以不局限于方阵，这也是奇异值分解相对于其他矩阵分解的优越性所在。

2.奇异值分解的证明
学习更重要的是学习方法论，况且这么酷的定理不证一下感觉对不起先贤，如果不愿意看证明可以直接跳过看下面的例子，注意这里我是ipad手写的证明。


证明1 证明2

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