Popov超稳定性在模型参考自适应（MRAS）中的应用

符号说明

• 与参考文献²中一致

Popov超稳定性概述¹

对于连续时间线性定常系统，超稳定性成立的条件有两个：

1. 输入输出积分满足Popov积分不等式：
   
2. 传递函数矩阵满足正实性。

在MRAS中的应用，以PMSM参数辨识为例

在参考文献²中，可以看到本身模型参考自适应原理比较简单，只是对于控制器设计和稳定性证明比较麻烦，用到了Popov超稳定性理论来设计控制器。
首先，参考模型选择与源模型相同，构造了一误差系统，只要保证该误差系统的状态变量收敛到0，则电机参数即可估计出来。

其中为误差矢量，。取，则有：

通过设计来保证系统传递函数矩阵严格正实³，设计来保证满足输入输出Popov积分不等式。在该系统中，有，取均为PI类型的控制器，有：

将上计算式带入到Popov积分不等式中，其中即为误差系统中的，则为误差系统中的，借助matlab符号运算，即可得到化简后的Popov积分不等式如下：

其中，为一误差系统中与系统变量（即误差）初值相关的量。可以看到，要满足上式，即使：

均满足即可。以上三式中第一个不等式为例，将其拆开，可以得到：

均满足即可。对于上两式中的第一式，可以利用如下不等式：

取，则可以得到：

而对于上两式中的第二式，可以直接取即可保证不等式成立：

因此，对于的控制率可以选择：

即可保证误差系统满足Popov超稳定性条件。使用同样的方法，即可得到的控制率如下：

Note

值得注意的是，文献²中利用MRAS同时辨识出三个电机参数，但实际上系统模型的阶数仅为两阶，因此个人觉得应该是有些许错误，在实际仿真时也印证了这一点：只有两个参数时辨识才准确，若三个参数同时辨识，结果将不准确。

参考文献

<div id="refer-anchor-1"></div>

• [1] 波波夫(POPOV)超稳定性理论该怎么理解？@X HE

<div id="refer-anchor-2"></div>

• [2] Quntao An and Li Sun, "On-line parameter identification for vector controlled PMSM drives using adaptive algorithm," 2008 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, Harbin, 2008, pp. 1-6, doi: 10.1109/VPPC.2008.4677634.

<div id="refer-anchor-3"></div>

• [3] Xu Junfeng, Xu Yinglei, Xu jiangping, et al. “A new control method for permanent magnet synchronous machines with observer”, Aachen Germany: 35th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2004.

附录

• matlab公式化简源码

clc;
clear all;
syms a b c A B C Ag Bg Cg e dltA dltB dltC i ig we id iq idg iqg ag bg cg e ud uq u real
A = [-a we;-we -a]
Ag = [-ag we;-we -ag]
B = [b 0;0 b]
Bg = [bg 0;0 bg]
C = [0;-we*c]
Cg = [0;-we*cg]
dltA = A - Ag
dltB = B - Bg
dltC = C - Cg
i = [id;iq]
ig = [idg;iqg]
e = i - ig
u = [ud;uq]
clc
-(dltA*ig + dltB*u + dltC)' * e