张正友标定算法原理详解

前言

”张正友标定”是指张正友教授1998年提出的单平面棋盘格的摄像机标定方法[1]。文中提出的方法介于传统标定法和自标定法之间，但克服了传统标定法需要的高精度标定物的缺点，而仅需使用一个打印出来的棋盘格就可以。同时也相对于自标定而言，提高了精度，便于操作。因此张氏标定法被广泛应用于计算机视觉方面。

原理

1.计算外参

• 设三维世界坐标的点为M=[X,Y,Z,1]T，二维相机平面像素坐标为m=[u,v,1]T，所以标定用的棋盘格平面到图像平面的单应性关系为： sm=A[R,t]M
  其中
  
  不妨设棋盘格位于Z = 0，定义旋转矩阵R的第i列为 ri, 则有：
  令H=[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]
  于是空间到图像的映射可改为： sm=HM，
  其中H是描述Homographic矩阵，H是一个齐次矩阵，所以有8个未知数，至少需要8个方程，每对对应点能提供两个方程，所以至少需要四个对应点，就可以算出世界平面到图像平面的单应性矩阵H
  外参具体计算公式。注意：R3是 t

一般而言，求解出的R = [r1 r2 t] 不会满足正交与归一的标准
在实际操作中，R 可以通过SVD分解实现规范化(详见原文)

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2.计算内参

由r1和r2正交，且r1和r2的模相等，可以得到如下约束： 正交
模相等

可以推到出

根据推到的结果可知如果有n组观察图像，则V 是 2n x 6 的矩阵
根据最小二乘定义，V b = 0 的解是 VTV 最小特征值对应的特征向量。
因此, 可以直接估算出 b，后续可以通过b求解内参
因为B中的未知量为6个，
所以当观测平面 n ≥ 3 时，可以得到b的唯一解
当 n = 2时, 一般可令畸变参数γ = 0
当 n = 1时, 仅能估算出α 与 β, 此时一般可假定像主点坐标 u0 与 v0 为0

内部参数可通过如下公式计算(cholesky分解)： 内参具体计算公式

3.最大似然估计

上述的推导结果是基于理想情况下的解，但由于可能存在高斯噪声，所以使用最大似然估计进行优化。设我们采集了n副包含棋盘格的图像进行定标，每个图像里有棋盘格角点m个。令第i副图像上的角点Mj在上述计算得到的摄像机矩阵下图像上的投影点为： 这里的K为相机内参矩阵A
其中Ri和ti是第i副图对应的旋转矩阵和平移向量，K是内参数矩阵。则角点mij的概率密度函数为： 这里的K为相机内参矩阵A
构造似然函数： 这里的K为相机内参矩阵A
让L取得最大值，即让下面式子最小。这里使用的是多参数非线性系统优化问题的Levenberg-Marquardt算法[2]进行迭代求最优解。 这里的K为相机内参矩阵A

4.径向畸变估计

张氏标定法只关注了影响最大的径向畸变。则数学表达式为：

其中，(u,v)是理想无畸变的像素坐标，(u^,v)(u^,v)是实际畸变后的像素坐标。(u0,v0)代表主点，(x,y)是理想无畸变的连续图像坐标，(x^,y)(x^,y)是实际畸变后的连续图像坐标。k1和k2为前两阶的畸变参数。
化作矩阵形式：
记做：Dk=d
则可得：
计算得到畸变系数k。
使用最大似然的思想优化得到的结果，即像上一步一样，LM法计算下列函数值最小的参数值：
这里的K为相机内参矩阵A
到此，张氏标定法介绍完毕。我们也得到了相机内参、外参和畸变系数。

相机标定步骤

• 打印一张棋盘格A4纸张（黑白间距已知），并贴在一个平板上
• 针对棋盘格拍摄若干张图片（一般10-20张）
• 在图片中检测特征点（Harris特征）
• 利用解析解估算方法计算出5个内部参数，以及6个外部参数
• 根据极大似然估计策略，设计优化目标并实现参数的refinement

参考

Zhang, Zhengyou - 《IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence》 - 2000
张正友标定算法原理详解
张正友相机标定中文版下载--A Flexible New Technique for Camera Calibration