智慧金字塔的数学模型与求解

       高一的时候看到同学玩智慧金字塔，深感有趣，于是我也买了一套在家里慢慢玩。在高二的暑假我把第5册第11阶段的题目都做出来了，然后试试第12阶段的题目，发现那根本就不是人玩的。。。他喵的，已知两块甚至更少的积木然后让你拼出5层的金字塔，要尝试的可能性实在是太多了；就算你直觉敏锐能看出些端倪，但这些残忍的题目还是完全能够将一个强迫症患者折磨至死。 （根据我的受虐体会，智慧金字塔题目的难度到达一定程度之后，需要的更多是逻辑推理而不是空间想象。）

A~L编号共12块积木 其中一种拼法 残忍的题目

       后来呢，学了些简单的模型和算法，视野宽了点，返过来又思考智慧金字塔。也知道了其实智慧金字塔的玩法就是所谓的“精确覆盖问题”，我感觉应该有希望用“0-1规划”的数学模型求解。于是我用简化了的情形在LINGO上求解一下，发现可行。现在分享一下这个思路。。。

       考虑的简化情形是：只用如下的F和K编号的积木，

        而需要填充的形状为

对每个空位作了编号

        对于这种简单的情形，一眼便能看出答案一定是

       但如果要用数学方法借助计算机求解，则需要将其表达形式抽象化，也就是

F：①④⑤

K：②③⑥⑦

       进而用7维向量表示如下

F1：（1，0，0，1，1，0，0）

K1：（0，1，1，0，0，1，1）

       显然，F1+K1=（1，1，1，1，1，1，1），等式右边全为1表示将这7个空位不多不少地“精确覆盖”了。

       另外，注意到，K积木只有一种可能的摆法，也就是K1：②③⑥⑦，向量形式为K1：（0，1，1，0，0，1，1）；F积木一共有6种可能的摆法，分别为

F1：①④⑤                               F1：（1，0，0，1，1，0，0）

F2：③⑥⑦                               F2：（0，0，1，0，0，1，1）

F3：②⑥⑦                               F3：（0，1，0，0，0，1，1）

F4：②③⑦                               F4：（0，1，1，0，0，0，1）

F5：②③⑥                               F5：（0，1，1，0，0，1，0）

F6：②⑤⑥                               F6：（0，1，0，0，1，1，0）

       为了描述问题，我们对以上7个向量各赋予一个系数，分别为k1、f1、f2、f3、f4、f5、f6，然后作出3个约束条件：

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 k1 · K1+ f1 · F1 + f2 · F2 + f3 · F3 + f4 · F4 + f5 · F5 + f6 · F6 = （1，1，1，1，1，1，1）                                                                                                                 ——（“精确覆盖”）；

 k1、f1、f2、f3、f4、f5、f6均为“0-1变量”                                                                                                                           ——（值为0表示不接受该积木的该种摆法，值为1则表示接受）；

 k1 = 1 ， f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 1                                                                                                                                                                          ——（对每个积木，选择一种摆法） ；

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       以上便是描述这个简化情形的数学模型，事实上这并不是“0-1规划”，而是“0-1变量方程组”而已。如果将这个模型推广为5层金字塔的情形，用来求解第12阶段的金字塔题目，那么就不是这里的7个7维向量那么简单了，而是数百上千个55维向量，所以求解模型的计算量就很大了，有必要借助LINGO这个解方程的“神器”，但前提是要将模型转化为LINGO语言。

       于是我用MATLAB建立了一个GUI文件，可以生成题目相应的LINGO代码，经LINGO求解得到结果后可以再用MATLAB画出三维图，操作及效果如下（以第477题为例）：

       第一步：在格子中选择A~L的字母，也可以为空，表示题目。

将已知的部分表示出来

       第二步：点击“LINGO代码”按钮，将会在桌面生成一个名为“金字塔的LINGO代码”的txt文件；将该文件里的内容全选并复制粘贴到LINGO的模型窗口中，再点击“solve”按钮。

求解

       第三步：看到状态窗口中如果显示“Feasible”，则表示已求出答案，不妨关掉它；然后在结果窗口中按下键盘ctrl+F，在弹出的搜索框中输入“Q”并查找，再将以“Q”开头的那些行全部复制，粘贴到桌面上名为“LINGO结果”的txt文件中（该文件不用手动新建），覆盖掉里面的全部内容，保存。

“Feasible”表示已经求出解 查找以“Q”开头的行 将这几百或上千行结果复制

       第四步：在MATLAB的GUI中点击“三维图”，就会生成题目答案对应的三维效果图，也可以拖动3根滑条来调整大小与角度。

更容易理解的大小与角度 更直观的大小与角度

      我用的MATLAB是R2015a版本，而LINGO是11.0版本，不过版本对运行的影响应该不大。

      说来其实这模型并不难，但要先得到A~L积木的各自可能的摆法，这却有点麻烦。一共有1646个摆法，这些表示积木摆法的55维向量数据也同样可以用MATLAB生成，方法很多，所以我就不给出用来生成这些数据的代码了，而是将这些数据连同GUI文件还有第12阶段的答案一同分享到GitHub和QQ空间。

https://github.com/pengxiquan678/IntelligentPyramid

https://user.qzone.qq.com/529058112