堆：Heap

一：堆的介绍

1. Heap是一种数据结构具有以下的特点：

   1）完全二叉树；
   2）heap中存储的值是偏序；

2. Min-heap: 父节点的值小于或等于子节点的值；

   Max-heap: 父节点的值大于或等于子节点的值；
   

   

二：堆的操作

1. 堆的存储：
   一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i–1)/2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
   

   

2. 堆的操作：insert
   插入一个元素：新元素被加入到heap的末尾，然后更新树以恢复堆的次序。
   每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。
   

   

3. 堆的操作：Removemax
   按定义，堆中每次都删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最大的，如果父结点比这个最小的子结点还大说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。
   

   

4. 堆的操作：buildHeap 堆化数组
   对于叶子节点，不用调整次序，根据满二叉树的性质，叶子节点比内部节点的个数多1.所以i=n/2 -1 ，不用从n开始。
   

   

5. 堆排序
   堆建好之后堆中第0个数据是堆中最大的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最大的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

   class Heap {
   public static void sort(int[] a) {
       if (a == null || a.length == 0) {
           return;
       }
       int len = a.length;
       // 构建heap
       for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--) {
           down(a, i, len);
       }
       // 排序
       while (len > 1) {
           exch(a, 0, len - 1);
           down(a, 0, len - 1);
           len--;
       }
   }
   // 向下
   private static void down(int[] pq, int k, int len) {
       while (2 * k + 1 < len) {
           int j = 2 * k + 1;
           if (j + 1 < len && less(pq, j, j + 1)) {
               j++;
           }
           if (!less(pq, k, j)) {
               break;
           } else {
               exch(pq, k, j);
               k = j;
           }
       }
   }
   public static void show(int[] a) {
       for (int i = 0; i < a.length; i++) {
           System.out.println(a[i]);
       }
   }
   private static boolean less(int[] pq, int i, int j) {
       return pq[i] < pq[j];
   }
   private static void exch(int[] pq, int i, int j) {
       int temp = pq[i];
       pq[i] = pq[j];
       pq[j] = temp;
       }
   }
   

三：堆的应用

//基于heap的优先级队列，N有点问题
public class MaxPQ {
    private int[] pq;
    private int N = 0;
    public MaxPQ(int size) {
        pq = new int[size];
    }
    public boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }
    public int size() {
        return N;
    }
    public void insert(int value) {
        if (N == pq.length) {
            resize(N * 2);
        }
        pq[N] = value;
        swim(N);
        N++;
    }
    public int delMax() {
        int max = pq[0];
        exch(0, N - 1);
        N--;
        sink(0);
        if (N > 0 && N == pq.length / 4) {
            resize(pq.length / 2);
        }
        return max;
    }
    // 由下至上的heap有序化
    private void swim(int k) {
        while (k > 0 && less(pq[(k - 1) / 2], pq[k])) {
            exch((k - 1) / 2, k);
            k = (k - 1) / 2;
        }
    }
    // 由上至下的heap有序化
    private void sink(int k) {
        while ((2 * k + 1) < N) {
            // 选择最大的子节点
            int j = 2 * k + 1;
            if (j + 1 < N && less(j, j + 1)) {
                j = j + 1;
            }
            if (!less(k, j)) {
                break;
            } else {
                exch(k, j);
                k = j;
            }
        }
    }
    private void resize(int max) {
        int[] temp = new int[max];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            temp[i] = pq[i];
        }
        pq = temp;
    }
    private boolean less(int a, int b) {
        return a < b ? true : false;
    }
    private void exch(int i, int j) {
        int temp = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = temp;
    }
}

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