方阵的特征值与特征向量

作者: ltochange | 来源:发表于2021-06-08 23:38 被阅读0次

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定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ ，使关系式
$Ax = \lambda{x}$
成立，那么，数 $\lambda$ 称为方阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

此外，上面的公式也可写为：
$（A - \lambda E)x =0$
可以看作是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是行列式
$|A - \lambda E | =0$

物理意义

如果将矩阵 $A$ 看作线性变换，特征向量 $x$ 经过线性变换 $A$ 后，到的新向量 $\lambda{x}$ 仍然与原来的向量 $x$ 保持在同一条直线上，即 $Ax = \lambda{x}$ 。

$\lambda$ 为标量，是特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例。若 $\lambda>0$ , 则线性变换后，向量方向保持不变；若 $\lambda<0$ , 则线性变换后，向量方向相反

ps：只有方阵存在特征值和特征向量

求解

设 ${A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 &3\end{array}\right)$ ，求A的特征值与特征向量
解：
A的特征方程为：
$|\lambda {E}-\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda+2 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ 4 & -1 & \lambda-3 \end{array}\right|=(\lambda+1)(\lambda-2)^{2}=0$

得到A的特征值为: $\lambda_{1}=-1, \quad \lambda_{2}=\lambda_{3}=2$

当 $\lambda_{1}=-1$ 时, 解方程 $(-\mathrm{E}-\mathrm{A}) x=0$
得基础解系 ${p}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\1\end{array}\right)$ 故对于的全体特征向量为 $\mathrm{k}_{1} p_{1}\left(k_{1} \neq 0\right)$

当 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$ 时，解方程 $(2 \mathrm{E}-\mathrm{A}) x=0$
得基础解系 ${p}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)$
${p}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 故对于的全体特征向量为 ${k}_{2} p_{2}+\mathrm{k}_{3} p_{3}\left(\mathrm{k}_{2}, \mathrm{k}_{3}\right.$ 不同时为 0 $)$

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