Topological Band Theory

作者: 多米尼克2049 | 来源:发表于2020-04-07 21:50 被阅读0次

拓扑不变量

在拓扑能带理论里面，有三个拓扑不变量经常被大家提到，分别是

$Chern$ 拓扑不变量
$Z_2$ 拓扑不变量
拓扑晶体绝缘体的拓扑不变量

关于他们前两个之间的区分，方辰老师在知乎上回答的很清楚，这里引用一下

作者：方辰
链接：https://www.zhihu.com/question/33971440/answer/57684314
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
Chern绝缘体对应没有任何对称性的二维的、有能隙的体系。在这种体系里，可以定义一个拓扑数，叫做Chern number，当这个数不等于零，我们就说这是非平凡的Chern绝缘体。Z2拓扑绝缘体对应的对称群是二维（或三维，但是先不讨论三维）有时间反演对称性的有能隙体系。这里需要注意，这类体系是上述没有对称性的二维有能隙体系的一个子类。因此上述Chern number也可以定义，但是理论上可以证明这个Chern number一定为零。然而Kane和Mele证明了存在一个新的拓扑数，它只在这类体系中才可以定义。这个新的拓扑数称为Z2指标，当这个指标不为零，我们就说这个系统是非平凡的拓扑绝缘体。量子自旋霍尔态（QSH态）对应的是有总自旋（即Sz）守恒的二维有能隙体系。在此类体系中，可以分别对于自旋朝上和自旋朝下的电子分别定义各自的Chern number，这两个Chern number被称为spin Chern number。只要其中有一个不等于零，我们就得到了一个QSH态。注意当对应于两种自旋的Chern number的和不为零时，一个QSH态同时也是一个Chern insulator。最后再强调一下，脱离对称性是不可以谈拓扑分类的。上面所谈的都是对自由费米子的拓扑分类，这与强相互作用体系中拓扑序（topological order）是两个概念。后者的分类不是基于对称性的，仅仅由准粒子激发的fusion rule和F-matrix决定。

关于拓扑不变量分类拓扑材料，戴希老师的《从TKNN到Z2拓扑绝缘体》也讲的很清楚，很喜欢戴希老师写的文章，写的很直观

作者：戴希
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/23828586
在时间反演操作下二维绝缘体的陈数必须反号，那么对于任何晶体材料，只要具有时间反演对称，其陈数就必须为零。换而言之，具有非零陈数的晶体材料，只能在破缺时间反演对称，也就是具有自发磁性的系统中去找，而绝大多数天然晶体材料是没有磁性的，难道在这些材料中就不会有拓扑非平庸的电子结构吗？能否找到陈数以外的拓扑不变量来刻画具有时间反演对称的绝缘体系统呢？答案是肯定的，近年来这方面的重大突破就是拓扑绝缘体理论。根据这一理论，可以把具有时间反演对称的绝缘体系统，分为拓扑绝缘体和普通绝缘体两类，而用来刻画其拓扑特性的不变量就叫做Z2拓扑不变量。

在保持时间反演不变的体系中寻找拓扑物态的早期尝试，是基于一种非常朴素的想法，既然时间反演操作下绝缘体系统的陈数会变号，那么假设有这样一类体系，它们的电子态由两个互为时间反演态，并且相互之间无耦合的子系统组成，我们不妨分别记为A和B，由于时间反演对称，两个子系统的总陈数为零，但它们各自的陈数可以不等于零，而是符号相反的两个整数，比如（1，－1）或者（2，－2），这样我们就可以得到一个陈数分类的简单推广，由于对固体电子态而言，最自然的两套子系统，就是电子的两个自旋指向，向上或者向下，于是这种“半个系统”的陈数就被叫做“spin Chern number”，自旋陈数，比如刚才提到的（1，－1）系统，其自旋陈数就等于1。并且当自旋陈数不等于零时，系统就相应地具有自旋霍尔效应。2005年宾州大学的Kane／Mele和斯坦福大学的Bernevig／张首晟分别基于石墨烯和特殊应力场下的半导体量子阱，几乎同时提出了这种可以用自旋陈数来描述的自旋霍尔效应体系。然而用自旋陈数来描述电子态的拓扑特性有一个非常重要的前提条件，就是上下自旋的电子态是完全相互独立的，不存在耦合效应，而这一条件在实际材料中是很难实现的，因为自旋轨道耦合效应是普遍存在的。然而他们很快发现，在进一步考虑了自旋轨道耦合效应以后，原先自旋陈数等于1，3，5等奇数的系统彼此在拓扑上等价，同时原先自旋陈数等于0，2，4等偶数的系统也在拓扑上等价，当然这里还必须满足一个条件，就是加上自旋轨道耦合的过程不能关闭绝缘体的能隙，这样才能保持拓扑学要求的“连续形变”。这样，具有时间反演不变的二维绝缘体就可以分为奇偶两类，数学上叫做Z2分类，其中奇数类具有被时间反演对称保护的狄拉克型边缘态，而偶数类则没有这种受保护的边缘态。

首先对于拓扑非平庸的材料来说，最关键的结构在于能带反转。比如说在孤立原子中s轨道能量要比p轨道能量高，但是在很多半导体材料中，但是由于相对论效应，s轨道会experience比p轨道强的相对论性吸引势导致它能量低于p轨道，从而导致能带反转。
我们一般用下面三种方法来讨论材料的拓扑性质。

计算 $Z_2$ 不变量，也就是材料的时间反演不变的信息
使用绝热演化的方法将未知的能带结构连续的演化到一个已知的拓扑平庸或者拓扑非平庸的能带结构。
直接计算表面态或者边界态信息。

首先来看计算 $Z_2$ 不变量，在计算具有中心反演对称性的结构时，Fu-Kane标准是广为采用的方法，Fu-Kane方法将 $Z_2$ 不变量和布里渊区时间反演不变动量点（TRIM）的布洛赫波函数的矩阵元联系在一起。在2维的布里渊区有4个TRIM点，时间反演对称会在2维情况下生成一个 $Z_2$ 不变量 $\nu$ ，在3维情况下是四个 $Z_2$ 不变量（ $\nu_0;\nu_1 \nu_2 \nu_3$ ），二维情况下可以直接用这个拓扑不变量表征材料的拓扑性质，在三维情况下情况则更为复杂一点，分为强拓扑绝缘体（ $\nu_0 = 1$ ），弱拓扑绝缘体（ $\nu_0 = 0, \nu_{1,2,3} \not= 0$ ）和拓扑平庸绝缘体。前者在保持时间反演不变的微扰下是可以稳定存在的而后者则不然。
傅亮和Kane引入 $Z_2$ 不变量的方式如下，
$(-1)^{\nu} = \prod^n_{i=1} \delta_i$
$\delta_i = Pf[\frac{w(\Lambda_i)}{\sqrt{Det[w(\Lambda_i)]} }]$
$w_{mn}(k) = \left \langle u_m(k)| \Theta |u_n(-k) \right \rangle$
$\Theta$ 是反酉时间反演算符， $\Lambda_i$ 是布里渊区里面的TRIM点。n在2维情况是4，在3维情况下是8，另外三个 $Z_2$ 不变量的计算方法也是类似的，在具有时间反演对称性的材料中，布洛赫波函数也是对偶算符的本征值 $\xi_m(\Lambda_i) = \pm 1$ ，这样，上面的公式就可以简化为
$\delta_i = \prod_m \xi_m (\Lambda_i)$
下图展示了二维双层Bi薄膜的 $Z_2$ 不变量的计算，

Parity of bands at TRIM
很明显地，对于第一个能带，比如说点，占据态

根据最开始那个公式可以得到这个体系，因此是一个强拓扑绝缘体。同样的方法，第二个能带

对于没有中心反演对称的体系，上面的方法就不适用了，可以用 $Z_2$ 不变量的一般形式来计算
$Z_2 = \frac{1}{2} [\oint_{d \tau} A(k)dl - \int_{\tau} F(k) d \tau] mod 2$
$A(k) = i \sum^N_{n=1} \langle u_n(k)| \nabla_k| u_n(k) \rangle$
是Berry连络
$F(k) = \nabla_k \times A(k)$ 是Berry曲率。
积分是沿着2维布里渊区表面 $\tau$ 和它的边界 $d\tau$ ，

除了上面的方法，绝热演化方法也经常被用来计算两个材料是否是拓扑等价的。通过调节原子的电荷量或者改变SOC的强度，都可以连续的改变体系的Hamitonian，比如下面

Adiabatic transformation of the known topologically notrivial HgTe into the half Heusler compound YPtSb

在HgTe结构中插入Kr原子再替换一部分Kr原子为Y原子，它们的电荷量为

$Z_{Kr} = 36 +2x + y$
$Z_{Hg} = 80-2x$
$Z_{Te} = 52 -y$

可以连续的调节x，y将材料从KrHgTe调成YPtSb，这样可以证明YPtSb和HgTe是拓扑等价的。

拓扑性质和表面态

常见的拓扑材料比较独特的性质主要有下面几个

螺旋自旋纹理
拓扑表面态的背散射抑制（引入磁性掺杂之后背散射通道又被打开）
负磁阻效应
拓扑表面态有时候会被薄膜的有限大小效应打开gap，由于上表面和下表面之间的相互作用。
对于拓扑非平庸材料，拓扑表面态必须穿过Fermi面奇数次，由于时间反演对称性的保护，两个表面态的带在TRIM点上是能量简并的。

拓扑晶体绝缘体

傅亮在2011年发现除了由时间反演对称性保护的 $Z_2$ 绝缘体外，还存在一种由时间反演对称性和晶体点群对称性共同保护的拓扑表面态。可以在不考虑SOC的时候得到。他引入新的拓扑不变量
$(-1)^{\nu_0} = \delta_{\Gamma M} \delta_{AZ}$
$\delta_{k_1 k_2} = e^{i \int_{k_1}^{k_2}dk \cdot A_k \frac{Pf[w(k_2)]}{Pf[w(k_1)]}}$
$w_{mn}(k_i) = \langle u_m(k_i) |UT|u_n(-k_i) \rangle$
先积分沿着2维平面上的 $k_1$ 点和 $k_2$ 点之间的连线， $U$ 是点群操作的酉算符，T是antiunitary的时间反演算符， $TU$ 加 $C_4$ 对称性会导致这四个K点的四重简并性
$\Gamma = (0,0,0)$
$M=(\pi,\pi,0)$
$Z = (0,0,\pi)$
$A = (\pi,\pi,\pi)$

Topological Band Theory

拓扑不变量

拓扑性质和表面态

拓扑晶体绝缘体

拓扑超导体

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