庞加莱猜想：追寻宇宙的形状

　《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》是日本作者春日真人所著。这本书一共２２７页，以采访记录的形式所写，是日本NHK电视台的一部特别纪录片，它全景再现世纪难题“庞加莱猜想”的“百年魔咒”，记录追寻宇宙的形状与神秘数学家不可理解的行为，让我真实地体验了数学“妖物”般的魅力与神秘。也正是因为这读起来一点也不烧脑，前些日子我用一个下午的时间浏览了一下，谁知清明假期又无心地拾起了它。

　　“遥远星空的尽头是什么模样？我们身处的宇宙究竟是什么形状？”每个曾经仰望星空的人，脑海中大概都有过这样的疑问。

　 享利·庞加莱是近代最后一位几乎涉猎了所有学科的科学家，被后人称为是足以和达芬奇、牛顿比肩的“智慧巨人”。

 庞加莱猜想的诞生要追溯到距今一个世纪之前的1904年，就是他50岁之时。严格用数学语言来表述的话，庞加莱猜想的具体内容应该是：任何一个单连通的、封闭的三维流形都与三维球面同胚。

 简单的讲，如果一个人带着一根足够长的绳子，一端固定在喜马拉雅山上，他从地球出发进行环绕宇宙一圈的旅行，假设这个人平安无事地返回地球，这时他是不是可以拽着绳子的两头将绳子收回，如果收回了说明宇宙是球形的，如果收不回说明宇宙是球形以外的其他形状。

　　1519年麦哲伦带领一支由5艘船组成的舰队向西航行，开始了环游世界的挑战，3年之后舰队顺利地返回出发地点葡萄牙，也正是航海家赌上性命的冒险，才让世人首次得以确证：地球是球形的。大约400年之后，庞加莱这样推断：如果地球不是完美的球形那又如何呢？假设，存在一个贯穿北极和南极的巨大孔洞，地球的形状就像是一个甜甜圈，那么在这种情况下，麦哲伦和他的舰队一样可以回到出发地，所以，通过航行回到出发地，就认为地球是完美的球形，这个论断不能完全成立。

　　拓扑学是庞加莱100年前开拓的全新的数学领域，在传统的数学世界里，物体的形状都有细致的分类，如球体、圆锥体、圆柱体等，这被称为是“固化数学”；但在拓扑学的世界里，球体、圆锥体、圆柱体最终都被视为同一形状的物体，再比如，甜甜圈和茶杯这两个物体也被视为具有同样的形状的物体。传统的数学是坚硬的钢铁做成的，而拓扑学就是由伸缩自如的橡胶构成的。简单的讲：拓扑学是从一个物体身上的孔的数量，来判断其形状的。后来被称为是“柔性数学“，这是一场从质疑物体的”量“到关注物体的“质”的一场革命。

　　1912年在庞加莱提出猜想的第8个年头，老人不幸去世了，年仅58岁，遗憾的是这位被称为“智慧巨人”的天才，最终也未能解开这个自己留下的难题。而且在论文的最后他还留下了这一段不可思议的话：这个问题必将引领我们到达那遥远的世界。

　　庞加莱猜想是对宇宙形状的发问，这对20世纪初的数学家来说，可能是一个太过超前的问题，直到20世纪50年代，学者们才开始真正地向其发起挑战。而这时距离命题提出的时代，已经过去了将近半个世纪了。

　 心怀梦想向其发起挑战的数学家比比皆是，最著名的在这里简单的介绍几个吧。

　　首先是来自希腊的学者帕帕奇拉克普罗斯，20世纪50年代，他证明了三个重要的定理，而这三个定理恰好是证明庞加莱猜想的基石，其中，特别是他那篇证明了著名数学难题“ 德恩引理”的论文，更是因其出色的证明方法而备受瞩目赞誉。

　　其次是来自德国的哈肯博士，他想用反证法来证明“庞加莱猜想是错误的”。在数学理论中，如果要证明某个命题是“真”（正确）的，就要求能够给出说明无论在任何情况下，该命题都必定成立的逻辑结构；但是，如果要证明某个命题是“伪”（错误）的，那么只要能够找到任意一个所谓的“反例”即可。他想通过计算机海量的运算，来解决这个问题，运气好的话可能会发现一个反例。

　　当时，困扰帕帕和哈肯博士的是同一个问题，那就是在宇宙空间中那根绳子会打结。如果不解决这个问题，就难以证明庞加莱猜想。而且大多数数学家都身陷“庞加莱猜想陷阱”中无法自拔。所谓的“陷阱”就是工作刚开始，证明的98%的部分总是很简单的就能够完成，但是最后一步却失败了。不过在这个过程中，你又可能发现其他的解决办法，于是又很快专注研究这个新思路，而一旦证明这个思路行不通，你又马上会想到其他的点子，数学家们就这样在精神上不断被折磨，最后变得越来越难以抑制心中的怒火，从而“走火入魔“。无数的数学家被庞加莱猜想的”魔咒“吸引着，他们的人生道路也自此改变。

　　接下来这一位是美国的约翰·斯托林斯博士，他也是一位被庞加莱猜想耗费半生心血的数学家之一。他说：不知庞加莱本人是否知道这么多数学家的失败，但众多失败的数学家追随庞加莱遗留下来的这个猜想，却到达了一个难以名状的神奇世界。虽然错误很明显，但却无法察觉证明其中的缺陷。原因是过于自信和自身的兴奋状态，或者是因为恐惧犯错而导致无法正常思考，真心祈祷以后年轻的数学家们能够找到免于陷入这些陷阱的方法。斯托林斯博士更像是《白鲸》中叙述故事的生还者以实玛利，对于年轻时的他而言，庞加莱猜想一定就像是一只必须要捕获的猎物，不过，不知何时，这中猎物却已经变成了刀枪不入的“魔兽“。

　　接下来这位亮相的是加州大学史蒂文·斯梅尔博士，他在庞加莱猜想的研究中取得了划时代的突破，他的发现被誉为开启了拓扑学黄金时代的大门，人们称赞他是“突破维度障碍的人“。

　　庞加莱猜想的本质其实是在说：在三维空间的宇宙中，用火箭将绳子环绕宇宙一圈，如果这个绳子能够成功收回来的话，就可以说宇宙是球形的。

   如果这个宇宙根本不是我们所认为的三维空间呢？如果宇宙是更高维度的四维、五维空间呢？情形会怎样？

   我们可能都坐过过山车，它在纵横交错的轨道上不停的奔跑，在三维世界里的过山车轨道系统是不会打结的，但我们再把视线转向地面，请注意观察地面上轨道的投影（二维世界），这些投影相互交错，非常复杂地缠绕在一起。在地面上，也就是二维平面上，轨道看起来像是相互碰撞、缠绕在一起。但当我们把视线再次转回到三维空间以后，就会发现这些轨道之间并没有相互碰撞、缠绕在一起。以此类推，绳子打结的问题在三维空间中很难解开，但在更高维度的五维空间、六维空间这都不叫事儿，也就是很容易解决。

     1960年他发表了仅仅3页纸的论文，却让整个世界惊叹，论文的题目就是：高维空间的广义庞加来猜想，可以简单地表述为：如果N维宇宙空间（N不等于3或4）里，环绕的绳子能够被收回来的话，N维宇宙就是球形。

　　1966年史蒂文·斯梅尔博士因此获得了当年的菲尔兹奖。也是这一年，在圣彼得堡市一位叫格里戈里·佩雷尔曼的男婴呱呱坠地，他的呢称叫格里沙。

　　请先不要着急，在讲佩雷尔曼之前，请允许我再邀请一位魔术师闪亮登场，他是居住在美国纽约州的威廉·瑟顿斯博士，他是双曲几何学领域的专家。当人们还在纠结于环绕宇宙的绳子会打结的问题上时，他的直觉告诉他，应该用一种全新的方法去研究庞加莱猜想。直白一点的庞加莱猜想表述是：环绕宇宙空间一周的绳子，如果可以收回来的话，就可以说宇宙空间是球形。当我们仔细品味庞加来猜想时，就会发现。在这个表述中，完全没有提及“如果绳子收不回来的话，宇宙空间又是什么形状的“，瑟斯顿博士的研究正是基于这一点。

　 历经10年之久，瑟斯顿博士经过不断试错，终于得出惊人的结论，1982年他发表的论文《三维流形、克莱因群及双曲面几何》中，描述了一个非常宏大的猜想：不论宇宙是什么形状，都必定可以分解为最多8种各自不同的几何结构。这个大胆的猜想被称为瑟斯顿的“几何化猜想“。第二年，他因为这个突破性的发现获得了当年的菲尔兹奖。

　　作为提出这个猜想的本人来讲，尽管背负了周围同仁们极大的期望，但是瑟斯顿博士最后还是放弃了证明“几何化猜想“的挑战。是什么原因导致他的放弃呢？

　　如果想要证明瑟斯顿“几何化猜想“，就必须先要找到把宇宙分解为8种几何结构的方法，但是，想要漂亮地对宇宙进行分解是极为困难的。在尝试分解的时候，经常会遇到整个形状突然崩塌的情形，这种让计算无法进行下去的状态被称为”奇点“，”几何化猜想“的证明遭遇到了强大的障碍。

   对于瑟斯顿博士的放弃，相比那些“走火入魔”的其他数学家们，我们又不禁觉得博士放弃的态度是一种最好不过的选择。

   数学的本质就是不断地追问我们要从什么样的角度看待这个世界。如果学习了数学的思维方式，那么你周围的环境“看”起来就会是截然不同的另外一个样子。

　　1992年，一位青年踏上了美国纽约的土地，从这一刻起，庞加莱猜想的研究工作就迎来了其漫长历史中最为重大的转机，这位青年就是当时年仅26岁的格里戈里·佩雷尔曼。

　　1994年他证明了一个数学上长期存在的超级难题“灵魂猜想”，他的论文仅仅用了三页纸的简洁说明，就解决了这个过去22年间让无数人铩羽而归的问题。当时齐格博士让他补充一些文字，以便别人更好的理解时，他断然拒绝了。

　　佩雷尔曼与来自中国的田刚教授是好朋友，在其论文发表和证实其解决庞加莱猜想的工作中，田刚教授都起到了巨大的作用。据田刚教授证实，1995年就在佩雷尔曼选择回国还是继续留在美国的那段时间，他经常向多位数学家反复询问同样一个问题：如何在Alexandrov空间里构筑里奇流的方法。实际上，那个时期，有一篇数学研究论文在美国引发学术界的热议，其中主要内容就是作者查德·汉密尔顿所主张的“利用里奇流方程式，将有可能证明瑟斯顿的几何化猜想及庞加莱猜想”。

　　里奇流方程式是汉密尔顿的研究领域“全局分析学”中经常会用到的方程式。这个方程式是能够使三维宇宙（三维空间）的形状变为球形的有力武器，而佩雷尔曼对这方面完全不了解。

　  1995年，他放弃了留在美国的机会选择了回国。据以前认识他的同事讲：回到圣彼得堡的佩雷尔曼像是变了一个人似的，除了参加像研讨会这类集体活动以外，他避开了大部分的人际交往，一头扎进研究工作中，夜以继日。

　　随着21世纪的大幕拉开，庞加莱猜想也迎来了新的时代。2000年5月25日，全世界的新闻媒体被一则新闻占据头版，《挑战数学，你也可能获得700万美元大奖！》，庞加莱猜想被列入21世纪七大数学难题之一。

　　2002年的秋天，数学圈里又发生了一件很奇怪的事情，有人居然在互联网上给出了庞加莱猜想和几何化猜想的证明。其实这在数学界也是“常有的事”，每次都是数学界热闹一阵子后复归平静。但是有一个数学家他相信这个证明是正确的，他就是佩雷尔曼的好友田刚教授。田刚教授在论文发表的当天就收到了佩雷尔曼的电子邮件，他让教授留意论文的发表以及后面的反响。

　　2003年4月，数学圈翘首以待的日子终于到来了，在田刚教授的邀请下，佩雷尔曼访问纽约并举行讲座。这次讲座与以往有所不同，他没有使用PPT资料，而是拿起粉笔，转身朝向讲堂里巨大的黑板，在没有任何草稿的前提下直接开始了他的讲解。

　　问题来了，令数学家们苦恼不已的是佩雷尔曼的推论方式。他的方法和拓扑学的研究者们在这100多年间惯用的手法毫无共同之处，就连这个领域里的老司机贝纳胡博士也蒙了，顿时不知所措。“他讲解的内容确实是在论证庞加莱猜想，但是大家却跟不上他的思路，专家学者们无法理解佩雷尔曼的证明，有些人在演讲未完就选择离开了。

　　一件讽刺的事情发生了，过去拓扑学家们认为微分几何学已太过陈旧，纷纷退出这一领域的研究，但是这一次，佩雷尔曼正是利用了微分几何学的最新知识，解开了庞加莱猜想这个被认为是拓扑学象征的世纪难题。贝纳胡博士回忆道：这就是一场噩梦，我一直所恐惧的情景，就是别人会用一种我根本不了解的方式证明出庞加莱猜想的那个瞬间。

　　约翰·摩根博士描述了当天大家的感受：许多数学家一直以来都把自己的精力倾注在庞加莱猜想上，当看到证明已接近完成时，他们会很沮丧；而当他们了解这个证明过程中没有使用拓扑学的方式时，他们的沮丧更上一层；到最后他们发现自己竟然理解不了这个证明，这让他们更加万分沮丧。“天哪，庞加莱猜想终于被证明了！但是我们怎么完全听不懂这个证明，谁来帮我解释一下……”

　　在整个讲座过程中，佩雷尔曼从未宣称：这个世纪难题已经“得到证明”。在他离美国时，他和田刚教授在查尔斯河畔散步。在短暂的闲谈中田刚教授得知：佩雷尔曼早在2000年时就已经基本证明了庞加莱猜想，但是因为他坚决不允许自己出一点差错，所以直到能够确认完全证明才发表论文。临行前他有个小小的愿望，希望田刚教授能在1到2年时间内让世界范围内的数学家们理解他的证明。对田刚教授来讲，这个愿望太过谦虚。在那之后的3年时间里，田刚教授都在致力于论文的核实工作。

　　2006年，佩雷尔曼拒绝了四年才一届的菲尔兹奖。这也是菲尔兹奖历史上首次出现了没有颁发出去的奖章。整个世界炸开了锅，人们纷纷议论这位“智慧巨人”的怪异行为。

　　最后的最后，作者和拍摄记录片的一行人，为无法采访到佩雷尔曼本人而感到遗憾。后来他们在佩雷尔曼恩师的陪同下来到他的住所，遗憾的是他们并未因此而见到佩雷尔曼本人。书中介绍佩雷尔曼的恩师多次劝导他重新融入社会，找个不错的工作再继续研究，可是效果并不明显，他仍然选择不与外届接触。

　   读完这本书，我有以下两点感想：

　   第一、换位思考。庞加莱猜想的证明竟然不是用他所开创的拓扑学知识，而是微分几何学知识。所以，我们在为人处事时，也要换位思考，不要一条道跑到黑，正所谓“山穷水复疑无路，枊暗花明又一村”。

　  第二、高处不胜寒。佩雷尔曼在证明了庞加莱猜想后选择了避世，走了与常人不同的道路，也许只有他自己明白他想要什么和属于他自己的那份快乐。尽管也受到了一些非议，但他并不在乎，依然在数学世界的王国里我行我素。我想说的是：或许有一天他又有惊人的表演，作为观众的我，尽量保持一颗敬畏的心，不只对他对身边的任何人任何事都是如此。

　　数学就像是一场旅行，我们都在竭尽所能地努力，就是为了亲眼去看那些从没有见过的风景。而数学界仍然遗留着很多尚未解决的难题，在我们不知道的世界里，数学家们正在进行着一场我们所不能了解的战斗，这样的战斗在未来数十年、数百年将永不停息！