最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序，并不要求连续。

最长公共子串（Longest Common Substring）： 是指两个字符串中最长连续相同的子串长度。
例如：str1=“1AB2345CD”,str2=”12345EF”,则str1，str2的最长公共子串为2345。

• 解法1：如果 str1 的长度为 N，str2 的长度为 M，生成大小为 N*M 的 数组 dp , dp[i][j]表示 str1[0…i] 与 str2[0…j] 的最长公共子串的长度。

def find_lcsubstr(s1, s2): 
    # 生成0矩阵，为方便后续计算，比字符串长度多了一列
    m = [[0 for i in range(len(s2)+1)] for j in range(len(s1)+1)] 
    mmax = 0   # 最长匹配的长度
    p = 0  # 最长匹配对应在s1中的最后一位
    for i in range(len(s1)):
        for j in range(len(s2)):
            if s1[i] == s2[j]:
                m[i+1][j+1] = m[i][j] + 1
                if m[i+1][j+1] > mmax:
                    mmax = m[i+1][j+1]
                    p = i+1
    return s1[p-mmax:p], mmax   # 返回最长子串及其长度
 
print(find_lcsubstr('abfcdfg', 'abcdfg'))

• 解法2：经典动态规划的方法需要大小为M*N的 dp 矩阵，但实际上是可以减少至O（1）的，因为计算每一个dp[i][j]的时候只需要计算dp[i-1][j-1],所以按照斜线方向计算所有的值，只需要一个变量就可以计算。

最长公共子序列

• 子串要求字符必须是连续的，但是子序列就不是这样。最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。
• 解法就是用动态回归的思想，一个矩阵记录两个字符串中匹配情况，若是匹配则为左上方的值加1，否则为左方和上方的最大值。一个矩阵记录转移方向，然后根据转移方向，回溯找到最长子序列。

import numpy as np
def find_lcseque(s1, s2): 
    #  生成字符串长度加1的0矩阵，m用来保存对应位置匹配的结果
    m = [ [ 0 for x in range(len(s2)+1) ] for y in range(len(s1)+1) ] 
    #  d用来记录转移方向
    d = [ [ None for x in range(len(s2)+1) ] for y in range(len(s1)+1) ] 
 
    for p1 in range(len(s1)): 
        for p2 in range(len(s2)): 
            if s1[p1] == s2[p2]:            # 字符匹配成功，则该位置的值为左上方的值加1
                m[p1+1][p2+1] = m[p1][p2]+1
                d[p1+1][p2+1] = 'ok'          
            elif m[p1+1][p2] > m[p1][p2+1]:  # 左值大于上值，则该位置的值为左值，并标记回溯时的方向
                m[p1+1][p2+1] = m[p1+1][p2] 
                d[p1+1][p2+1] = 'left'          
            else:                           # 上值大于左值，则该位置的值为上值，并标记方向up
                m[p1+1][p2+1] = m[p1][p2+1]   
                d[p1+1][p2+1] = 'up'         
 
    (p1, p2) = (len(s1), len(s2)) 
    print(np.array(d))
    s = [] 
    while m[p1][p2]:    # 不为None时
        c = d[p1][p2]
        if c == 'ok':   # 匹配成功，插入该字符，并向左上角找下一个
            s.append(s1[p1-1])
            p1 -= 1
            p2 -= 1 
        if c =='left':  # 根据标记，向左找下一个
            p2 -= 1
        if c == 'up':   # 根据标记，向上找下一个
            p1 -= 1
    s.reverse() 
    return ''.join(s) 

print(find_lcseque('abdfg','abcdfg'))

image.png