插值

一.基本概念

1.1插值需要研究的问题

• 插值函数是否存在？
• 如何构造插值函数？
• 如何评估误差？

1.2插值法定义

• 设函数y=f(x)在区间[a,b]有定义，且已知上值，若存在一简单函数P(x),使得
  
  成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值区间函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，即，称P(x)为插值多项式。

二.多项式插值

• 定理：设区间[a,b]上给定n+1个点上的函数值,这样次数不超过n的多项式，使是唯一的。

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三.拉格朗日插值

使用解线性方程组的方法求解插值多项式，计算量大，造成的误差也不易估算，因此我们一般采取其他方法来构造插值多项式

3.1线性插值与抛物线插值

• 线性插值（两点插值）:

  给定两个区间及端点函数值,求线性插值多项式,满足:

  ​

  其集合意义就是过着两个点的直线。可以通过直线表达式给出：

  两点式
  
  设
  
  其中
  
  可将两点式表示为
  

• 抛物线插值（三点插值）：

  略

3.2拉格朗日插值多项式

将以上两个点或是三个点的情况扩展到有n+1个点，设有n+1个节点，，构造n次插值多项式满足条件。

• n次插值基函数：若n次多项式，在n+1个节点上满足条件就称这为n+1个n次多项式为节点的n次插值基函数。可以表示为

  

• 拉格朗日插值多项式：

  可以表示为，

  若将记

  则（关于x求导）

  所以可以将拉格朗日插值多项式改写为：
  

• 注：n次插值多项式的次数通常为n次，特殊情况下也可以小于n次，如三点抛物线插值三点在同一条直线上时。

3.3插值余项与误差估算

• 定义：若在[a,b]上用近似f(x),则其截断误差
  
  称为插值多项式的余项。

• 定理：设在[a,b]上连续，在[a,b]内存在，节点，是满足上述条件的插值多项式，则对任意的,
  
  这里且依赖于。

  • 证明：（罗尔中值定理）
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四.均差及牛顿插值多项式

五.埃尔米特插值

六.分段低次插值

七.三次样条插值