矢量

矢量的表示

v = [x, y, z]

1.矢量的运算

1.1 矢量的加法和减法

a = [ax, ay, az]
b = [bx, by, bz]
a + b = [(ax + bx), (ay + by), (az + bz)]
a - b = [(ax - bx), (ay - by), (az - bz)]

1.2 矢量与标量scale的乘积

a = [ax, ay, az]
a * scale = [scale * ax, scale * ay, scale * az]

1.3 矢量的模(矢量的长度)

|v| =  sqrt(x * x + y * y + z * z ) 

1.4 单位矢量以及矢量的归一化(规范化)

单位矢量(unit vector) 即模为1的矢量;
给定任意矢量v，将该矢量转换为单位矢量u，并且保持方向不变的过程，称为矢量的归一化, 方法很简单：

u = v / |v| ; 

1.5 法矢量

平面(plane)的法矢量(normal vector)是指垂直于平面的矢量。法矢量在计算机图形学中非常有用。比如，一个平面可以用一个点和一个法矢量表示。法矢量一般为单位矢量，但是非必要条件。

1.6 点积和投影

• 点积（dot product）, 又称为标量积(scalar product) 或者内积(inner product)
• 叉积( cross product), 又称矢量积(vector product) 或者外积

两个矢量的点积是一个标量, 此标量定义为两矢量中每对分量乘积之和

a · b = ax * bx + bx * by + az * bz = d

点积也可以写成两个矢量的模相乘之后，在乘以两个矢量间夹角的余弦

a · b = |a||b|cosθ

1.6.1 点积特性

a · b = b · a                      (交换律)
a · ( b + c) = a · b + a · c       (分配律)
(sa) · b = a · sb = s(a·b)         (标量运算)

1.6.2 矢量投影

若u为单位矢量(|u| = 1 ), 则点积(a· u) 表示在由u方向定义的无限长度直线上, a的投影(projection)的长度

1.6.3 点积判定

点积非常适合用来判断两矢量是否互共线(collinear)或者垂直.

• 共线: (a · b) = |a||b| ( 即夹角为0°)
• 共线但是方向相反: ( a · b) = -|a||b| (夹角为180°)
• 垂直: (a · b) = 0 (即夹角为90°)
• 相同方向: ( a · b ) > 0 (即夹角小于90°)
• 相反方向: ( a · b ) < 0 (即夹角大于90°)

1.7 叉积

两个矢量的叉积（也称外积/outer product或者矢量积/vector product）会产生另一个矢量,该矢量垂直于原来的两个相乘矢量。叉积运算只定义于三维空间

a × b = [(aybz - azby), (azbx - axbz), (axby - aybx)]

1.7.1 叉积的模

叉积的模等于两矢量各自的模的积在乘以两矢量夹角的正弦

| a × b | = |a||b|sinθ

若a和b为平行四边形的两条边,其面积为两矢量叉积的模| a × b |。由顶点V1, V2, V3组成的三角形,其面积是任意两条边的矢量叉积的模的一半

A = 1/2 | (V2 - V1) × (V3 - V1)|

1.7.2 叉积的方向

当使用右手坐标系时，可以使用右手法则(right-hand rule) 在表示叉积的方向。伸开右手掌，使除拇指之外的4只手指指向a矢量的方向，在把4只手指向内屈曲指向b矢量的方向，那么拇指的方向边上叉积(a × b)的方向 。
若使用左手坐标系，则叉积是左手法则(left-hand rule)。

1.7.3 叉积的特性

a × b = -b × a                       (反交换律)
a × (b + c ) = ( a × b ) + ( a × c)  (分配律)
(sa) × b = a × (sb) = s(a×b)         (与标量的乘法)

1.7.4 叉积的应用

• 求三角形表面或者其他平面的法矢量。给定平面上任意3点P1， P2， P3， 平面的法矢量就是:

n = normalize[(P2 - P1) × (P3 - P1)]

1.8 点和矢量的线性插值

线性插值(linear interpolation)是一个简单的数学运算，用来计算两个已知点的中间某点L。此运算的名称通常写成LERP。运算公式如下,β表示点L距离A点β百分比:

L = LERP(A, B, β) = A + (B - A) β = (1 - β) A + βB = [(1-β)Ax + βBx, (1 -β) Ay + βBy, (1-β)Az + βBz]