人工智能通识-科普-微积分求圆周长

作者: zhyuzh3d | 来源:发表于2019-03-23 13:10 被阅读26次

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如何用曲线长度积分公式来计算圆的周长？

曲线长度

曲线长度积分计算公式：

$L=\int_a^b \sqrt {1+(f'(x))^2}dx$

我们先热身一下，看如何计算普通曲线方程 $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ 上[1,4]区间的曲线长度。

我们从求微分公式 $f(x)=x^a \to f'(x)=ax^{a-1}$ 得到：
$f(x)=x^{\frac{3}{2}} \to f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

带入公式：
$\begin{align} L&=\int_a^b \sqrt {1+(f'(x))^2}dx\\ &=\int_1^4 \sqrt {1+(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}})^2}dx\\ &=\int_1^4 \sqrt {1+\frac{9}{4}x}dx \end{align}$

我们先只关注根号内部分,：
$\begin{align} u&=1+\frac{9}{4}x\\ du&=\frac{9}{4}dx \quad (两边同时求导数)\\ dx&=\frac{4}{9}du \end{align}$

由于 $u(0)=1+\frac{9}{4}·0=1$ 和 $u(4)=1+9=10$ ，我们求 $x\in[1,4]$ 就相当于求 $u\in [1,9]$ 的范围。把这个dx结果带入到上面公式：
$\begin{align} L=\int_1^{10} \sqrt{u}·\frac{4}{9}du=\frac{4}{9}\int_1^{10} u^{\frac{1}{2}}du\\ \end{align}$

通过查积分表得到对应的求积分公式：
$\int u^a du=\frac{u^{a +1}}{a+1}+C$

更多求积分的公式点这里

带入并将u替换为1~10的差：
$\begin{align} L&=\frac{4}{9}\int_1^{10} u^{\frac{1}{2}}du \\ &=\frac{4}{9}[(10^{\frac{1}{2}+1}\times \frac{1}{\frac{1}{2} + 1})-(1^{\frac{1}{2}+1}\times \frac{1}{\frac{1}{2} + 1})]\\ &=\frac{4}{9}[(10^{\frac{3}{2}} \times \frac{2}{3})-(1\times\frac{2}{3})]\\ &\approx\frac{4}{9}\times 20.41\\ &\approx9.07\\ \end{align}$

关于求积分公式

回顾一下积分的定义。右侧 $F(x)$ 是原函数，左侧 $f(x)$ 是积分函数，也是原函数的导数函数。

积分函数下面的区间的面积与原函数高度差对应；原函数的某点斜率（导数）与积分函数的高度值对应。表达成公式有两个函数的关系是：
$\begin{align} \int_a^b f(x)dx&=F(a)-F(b)\\ F'(a) &=f(x)\\ \end{align}$

这里我们注意到，如果我们把整个 $F(x)$ 的曲线向上或者向下平移，那么高度差不变，斜率也不变，两个函数直接的对应关系也不变。

所以在这里， $f(x)$ 实际是和 $F(x)+C$ 对应的，因此我们也就在求积分公式中经常见到C，表示原函数不只一个而是很多个。但这对于求固定区间的定积分没有影响，就像上面我们直接把10和1代入公式而忽略了C。

积分求圆周长

首先我们知道单位圆上面一半的函数是 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ ，如下图：

整个圆也可以写成参数方程的形式 $t \in [0.2 \pi]$ ：
$\begin{cases} x=sin(t)\\ y=cos(t) \end{cases}$
如图所示：

回顾我们的曲线长度计算公式文章，我们有：
$\begin{align} L&=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}|P_i-P_{i-1}|\\ &=\int_a^b\sqrt{dx^2+dy^2}dx\\ &=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\\ \end{align}$