时间序列预测之：将非中心化ARMA模型转化为中心化ARMA模型

作者: 遥远的清平湾 | 来源:发表于2019-08-27 16:00 被阅读0次

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考虑以下平稳可逆的ARMA(p,q)模型：

$y_t = \phi_0 + \phi_1 y_{t-1} + \ldots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \ldots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$

当 $\phi_0=0$ 时，上面ARMA(p,q)为一中心化模型，即 $y_t$ 的期望为0。当 $\phi_0 \neq 0$ 时，可以通过变换转化为中心化模型：
两边同时求均值，有

$E y_t = E\phi_0 + E\phi_1 y_{t-1} + \ldots + E\phi_p y_{t-p} +E \varepsilon_t + E\theta_1 \varepsilon_{t-1} + \ldots + E\theta_q \varepsilon_{t-q}$

因为 $\varepsilon_t$ 为白噪声，所以有

$E\varepsilon_t = E\varepsilon_{t-1} = \ldots = E\varepsilon_{t-q} = 0$

又因为上述ARMA(p,q)模型为平稳的，所以有

$Ey_t = Ey_{t-1} = \ldots = Ey_{t-p}$

综合以上，有

$Ey_t = \frac{\phi_0}{1- \phi_1 - \ldots - \phi_{p}}$

令 $x_t = y_t - \frac{\phi_0}{1- \phi_1 - \ldots - \phi_{p}}$ ，则可将原非中心化ARMA(p,q)模型转化为中心化模型：

$x_t = \phi_1 x_{t-1} + \ldots + \phi_p x_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \ldots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$

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