导数有什么用？

导数是用来分析变化的。
以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。
曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。
综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。

导数是什么

用下面的图来说明导数是什么

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某一点的斜率和瞬间斜率

课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。
前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。
过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。
以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。
从数学角度考虑点在曲线上的移动，会将该点在下一个瞬间发生的变化称为“瞬间斜率”。换言之，瞬间斜率就是曲线上各点的斜率。后面我们会进一步详细阐述。
数学上在设定斜率时，都是取两个点，这与“某一点的斜率”的说法有些矛盾，因此有时会使用“瞬间斜率”的说法。而正因如此，有些令人费解。导数这个概念原本是从物理学和天文学这类研究物体运动的学科发展而来的，在这些领域里，“瞬间”或许是十分平常的现象，但针对没有运动概念的数学曲线图形谈“瞬间”，有人就无法理解。因此，我们使用数学化、图形化的方式进行讲解，不使用“瞬间斜率”的表述方法，而代之以“某一点的斜率”。已经习惯使用瞬间斜率的同学，请转换一下概念，“某一点的斜率=瞬间斜率”。初次接触导数的同学也请记住瞬间斜率是常用说法。
用普通的方法很难求某一点的斜率，使用导数却能轻松求出来，请牢记这一点。
如果轨道瞬间消失了，那么急驰在上面的过山车会怎样？答案是：会沿直线飞出去，此时过山车飞出的方向就是曲线的切线方向。因此“瞬间斜率”或“某一点的斜率”也可用于求切线的斜率。