子群与陪集分解

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-02 14:13 被阅读0次

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1.3.2设群 $G$ 中元 $g$ 的阶 $o(g)=mn,(m,n)=1$ 则 $g=ab,o(a)=m,o(b)=n$ 且 $a,b$ 均为 $g$ 的幂。
1.3.3设群 $G$ 的两个元 $g,h$ 可换， $o(g)=m,o(h)=n$ 记 $(m,n),[m,n]$ 分别是 $m,n$ 的最大公因子和最小公倍数，则
(1) $o(g^nh^m)=\frac{[m,n]}{(m,n)}$
(2) $G$ 中存在阶为 $(m,n)$ 的元
(3) $G$ 中存在阶为 $[m,n]$ 的元
1.3.4设 $A$ 是群 $G$ 的有限子群，则 $A$ 是 $G$ 的子群当且仅当对任意元 $a,b\in A,ab\in A$
1.3.8设 $A$ 和 $B$ 是有限群 $G$ 的两个非空子集，若 $|A|+|B|>|G|$ 则 $G=AB$
1.3.11设 $A\leq G,B\leq G$ 如果存在 $a,b\in G$ 使得 $Aa=Bb$ 则 $A=B$
1.3.12设 $n>2$ 则有限群 $G$ 中有偶数个阶为 $n$ 的元
1.3.14设 $A\leq G$ 试证 $C_GC_GC_G(A)=C_G(A)$
1.3.15试证有限群 $G$ 的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群 $G$ 结论对无限群是否成立？
1.3.16设 $H$ 和 $K$ 分别是有限群 $G$ 的两个子群，试证：
$|HgK|=|H|[K:K\cap g^{-1}Hg]=|K|[H:H\cap gKg^{-1}]$
1.3.17设 $A$ 是群 $G$ 的具有有限指数的子群，试证：存在 $G$ 的一组元 $g_1,g_2,\ldots,g_m$ 它们既可以作为 $A$ 在 $G$ 中的右陪集代表元系，又可以作为 $A$ 在 $G$ 中左陪集代表元系。
1.3.18令 $G=GL(n,\mathbb{C}),p$ 是主对角线上的元均为1的 $n\times n$ 上三角方阵全体形成的 $G$ 的子群。确定 $N_G(p),C_G(p)$ 和 $p$ 的中心 $Z(p)$
1.3.19设 $G$ 是有限 $Abel$ 群，试证 $g$ 对应到 $g^k$ 是 $G$ 的一个自同构当且仅当 $k$ 和 $|G|$ 互素。
1.3.20设 $G$ 是奇数阶有限群， $\alpha\in Aut(G)$ 且 $\alpha^2=1$ 令
$G_1=\{g\in G|\alpha(g)=g\},G_{-1}=\{g\in G|\alpha(g)=g^{-1}\}$
试证 $G=G_1G_{-1}$ 且 $G_1\cap G_{-1}=1$
1.3.21设群 $G$ 的元 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 满足 $a_1b_1=a_2b_2=b_1a_1=b_2a_2,a_1^m=a_2^m=b_1^n=b_2^n$ 其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数，则 $a_1=a_2,b_1=b_2$

参考文献

冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.

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