一. 基本概念
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
在图中不允许没有顶点，可以没有边。
- 无向边：若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边（Edge），用
（Vi，Vj）来表示 - 有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用
<Vi, Vj>来表示，其中Vi称为弧尾（Tail），Vj称为弧头（Head）。 - 稀疏图；有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
- 权（Weight）：表示从图中一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
- 网：带有权重的图
- 度：与特定顶点相连接的边数；
- 连通图：任意两个顶点都相互连通的图；
- 最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；
- 生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；
二. 储存结构
1. 邻接矩阵
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
- 优点：结构简单,操作方便
- 缺点：对于稀疏图，这种实现方式将浪费大量的空间。
无向图
无向图由于边不区分方向，所以其邻接矩阵是一个对称矩阵。邻接矩阵中的0表示边不存在，主对角线全为0表示图中不存在自环。
image.png
带权的有向图
在带权有向图的邻接矩阵中，数字表示权值weight，「无穷」表示弧不存在。由于权值可能为0，所以不能像在无向图的邻接矩阵中那样使用0来表示弧不存在。
image.png
/**
* 有向图的邻接矩阵实现
*/
public class Digraph {
private int vertexsNum; //顶点数目
private int edgesNum;
private int[][] arc;
//data为M*2的矩阵，表示有m条边，起点为data[i][0]，终点data[i][1]
public Digraph(int[][] data, int vertexsNum) {
this.vertexsNum = vertexsNum;
this.edgesNum = data.length;
arc = new int[vertexsNum][vertexsNum];
for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) {
for (int j = 0; j < vertexsNum; j++) {
arc[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
}
}
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
int tail = data[i][0];
int head = data[i][1];
arc[tail][head] = 1; //将可以导通的路，设为1
}
}
//用于测试，返回一个顶点的邻接点
public Iterable<Integer> adj(int vertex) {
Set<Integer> set = new HashSet<>();
for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) {
if (arc[vertex][i] != Integer.MAX_VALUE)
set.add(i);
}
return set;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] data = {
{0,3},
{1,0},
{1,2},
{2,0},
{2,1},
};
Digraph wd = new Digraph(data,4);
for(int i :wd.adj(1)) {
System.out.println(i);
}
}
}
2. 邻接表
邻接表是一种将数组与链表相结合的存储方法。其具体实现为：将图中顶点用一个一维数组存储，每个顶点Vi的所有邻接点用一个单链表来存储。这种方式和树结构中孩子表示法一样。
有向图
有向图的邻接表是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易求一个顶点的出度（顶点对应单链表的长度），但若求一个顶点的入度，则需遍历整个图才行。这时可以建立一个有向图的逆邻接表即对每个顶点v都建立一个弧头尾v的单链表。
本算法的时间复杂度为 O(N + E)，其中N、E分别为顶点数和边数，邻接表实现比较适合表示稀疏图。
image.png
/**
* 有向图的邻接表实现
*
*/
public class AdjListDigraph {
private class EdgeNode {
int index;
EdgeNode next;
EdgeNode(int index, EdgeNode next){
this.index = index;
this.next = next;
}
}
private class VertexNode {
int id;
EdgeNode headNode;
}
private VertexNode[] vertexs;
private int vertexsNum;
private int edgesNum;
public AdjListDigraph(int[][] data, int vertexsNum) {
this.vertexsNum = vertexsNum;
this.edgesNum = data.length;
vertexs = new VertexNode[vertexsNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
vertexs[i] = new VertexNode();
vertexs[i].id = i; //
}
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
int index = data[i][1];
EdgeNode next = vertexs[data[i][0]].headNode;
EdgeNode eNode = new EdgeNode(index,next);
vertexs[data[i][0]].headNode = eNode; //头插法
}
}
//用于测试，返回一个顶点的邻接点
public Iterable<Integer> adj(int index) {
Set<Integer> set = new HashSet<>();
EdgeNode current = vertexs[index].headNode;
while(current != null) {
VertexNode node = vertexs[current.index];
set.add(node.id);
current = current.next;
}
return set;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] data = {
{0,3},
{1,0},
{1,2},
{2,0},
{2,1},
};
AdjListDigraph ald = new AdjListDigraph(data,4);
for(int i :ald.adj(1)) {
System.out.println(i);
}
}
}
3.十字链表
十字链表（Orthogonal List)是将邻接表和逆邻接表相结合的存储方法，它解决了邻接表（或逆邻接表）的缺陷，即求入度（或出度）时必须遍历整个图。
- firstIn表示入边表（即是逆邻接表中的单链表）头指针，firstOut表示出边表（即是邻接表中的单链表）头指针，data表示顶点数据。
- tailVex表示边的起点在顶点数组中的下标，tailNext值出边表指针域，指向起点相同的下一条边。
-
headVex表示边的终点在顶点数组中的下标，headNext指入边表指针域，指向终点相同的下一条边。
image.png
代码实现：
/**
* 有向图的十字链表实现
*
*/
public class OrthogonalList {
private class EdgeNode {
int tailVex;
int headVex;
EdgeNode headNext;
EdgeNode tailNext;
public EdgeNode(int tailVex, int headVex, EdgeNode headNext, EdgeNode tailNext) {
super();
this.tailVex = tailVex;
this.headVex = headVex;
this.headNext = headNext;
this.tailNext = tailNext;
}
}
private class VertexNode {
int data;
EdgeNode firstIn;
EdgeNode firstOut;
}
private VertexNode[] vertexs;
private int vertexsNum;
private int edgesNum;
public OrthogonalList(int[][] data, int vertexsNum) {
this.vertexsNum = vertexsNum;
this.edgesNum = data.length;
vertexs = new VertexNode[vertexsNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
vertexs[i] = new VertexNode();
vertexs[i].data = i; //
}
//关键
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
int tail = data[i][0];
int head = data[i][1];
EdgeNode out = vertexs[tail].firstOut;
EdgeNode in = vertexs[head].firstIn;
EdgeNode eNode = new EdgeNode(tail,head,in,out);
vertexs[tail].firstOut = eNode;
vertexs[head].firstIn = eNode;
}
}
//返回一个顶点的出度
public int outDegree(int index) {
int result = 0;
EdgeNode current = vertexs[index].firstOut;
while(current != null) {
current = current.tailNext;
result++;
}
return result;
}
//返回一个顶点的入度
public int inDegree(int index) {
int result = 0;
EdgeNode current = vertexs[index].firstIn;
while(current != null) {
current = current.headNext;
result++;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] data = {
{0,3},
{1,0},
{1,2},
{2,0},
{2,1},
};
OrthogonalList orth = new OrthogonalList(data,4);
System.out.println("顶点1的出度为" + orth.outDegree(1));
System.out.println("顶点1的入度为" + orth.inDegree(1));
}
}
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