算法图解笔记

作者: 此间流逝 | 来源:发表于2019-02-12 19:49 被阅读0次

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书名: 算法图解
出版社: 图灵出版社
网址: http://www.ituring.com.cn/book/1864

在学习C语言的时候，理解到了程序由算法+数据结构组成。算法的理解和学习是程序员必不可少的内容。这周看了《图解算法》这本书，书本采用Python语言，通俗易懂，虽然书本上有些算法没有讲解，但通过大量的例子加深对算法的理解，是不错的入门书籍。

下面是我看了书籍后做的读书笔记，便于日后复习加强学习。

图解算法

基础

大 $O$ 表示法: 是一种特殊的表示方法，指出了算法的速度有多快。在实际应用中，只知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需要知道运行时间如果随列表增长而增加，这正是大 $O$ 表示法的作用。

表达的方式为: $O$ (n) 其中n表示的是操作数，操作数前的 $O$ ，所以称为大 $O$ 表示法。

常见的大 $O$ 运行时间

常见的运行时间

$O$ (log $n$ )比 $O$ ( $n$ )快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。

算法运行时间并不以秒为单位，而以操作数为单位，且从算法增速角度度量。

常量对大 $O$ 表示法影响:
大 $O$ 表示法的常量有时候事关重大，如快速排序比合并排序快，因为其大 $O$ 表示运行时间都为 $O$ ( $n$ log $n$ )。有时常量无关紧要，如简单查找 $O$ ( $n$ )和二分查找 $O$ ( $n$ log $n$ )。

最糟情况:调用算法运行，经过最多次操作才得出结果。
最佳情况:调用算法运行时，经过最少次操作就得出结果。
平均情况:结果等同于最佳情况，如快速排序平均运行时间为 $O$ ( $n$ log $n$ )

内存工作原理:
数据存储到内存时，请求计算机提供存储空间，计算机会返回给你一个16进制128位的存储地址，存储地址对应数据的存放位置。内存存储就类似于往抽屉里放东西。
递归
递归是一种优雅的问题解决方法。使用递归，可以使程序更容易理解，使用循环，程序的性能可能更高。每个递归函数包括两部分:基线条件(base case)和递归条件(recursive case)。

例如:

def sum(list):
    if list == []: #基线条件
        return 0
    return list[0] + sum(list[1:]) #递归条件
    
#循环写法
def sumCircle(list):
    allSum = 0
    for i in list:
        allSum = allSum + i
    return allSum

NP完全问题
简单定义是，以难解著称的问题，如旅行商问题(根据城市，找出所有可能路线，路线算法是采用阶乘函数，输入参数是城市数量)和集合覆盖问题。很多非常聪明的人认为，根本不可能编写出快速解决这些问题的算法。最佳解法是采用近似算法。

特征:

元素较少运行速度非常快，随元素增加，速度变得非常慢

涉及“所有组合”问题通常是NP完全问题

不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能情况，可能是NP完全问题

如果问题涉及序列且难以解决，则可能是NP完全问题

如果问题涉及集合且难以解决，则可能是NP完全问题

如果问题涉及旅行商和集合覆盖问题，则肯定是NP完全问题

数据结构

数组:是一组数据在内存上采用内存地址连续的空间存储。由于数组知道每个元素位置，所以查找特别迅速，但由于内存空间固定，所以插入和删除都有重新安排空间，比较缓慢。同一数组中，所有元素类型都必须相同

例如途中待办事项就是数组

数组

链表:元素可以存储在内存的任何地方。每个元素都存储了下一个元素的地址，从而使一系列随机内存地址串在一起。插入和删除只要修改存储的下一元素的地址，比较快速，而查找则只能从第一个元素开始读取，比较缓慢。
链表

数组链表比较

比较

混合结构:同时使用数组和链表，其查找和插入的性能都介于数组和链表之间。
混合结构

栈：是一种简单的数据结构，特点是先进后出。在调用函数和递归调用的时候使用的数据结构就是栈。每个程序调用的栈空间都有限，如果用完这些空间，会造成栈溢出而终止运行。
散列表:最有用的基本数据结构之一。散列函数是将输入映射到数字。散列函数满足下列要求:

返回必须是一致的，即输入的返回值不发生变化
将不同的输入映射到不同数字。

散列函数和数组构成散列表。散列表也被称为散列映射、映射、字典和关联数组。Python提供的散列实现为字典，使用函数dict创建散列表。

散列表应用:

通过创建映射，用于查找
防止重复
将散列表用于缓存

使用散列表，可能会遇到冲突问题，即存储时分配的位置已经被使用。这时，要保证:散列函数很重要，理想情况是散列函数均衡地映射到散列表的不同位置，呈均衡分布；散列表存储的链表不要太长，不然影响效率。

性能:一般情况下，散列表兼具数组和链表的优点，在最糟糕的情况下，各种操作速度都很慢，这时要避免冲突，做到:较低的填装因子和良好的散列函数

散列表性能

填装因子:用于反映数组中被占用的位置数，计算公式为：

$\frac {\text{散列表包含的元素数}}{\text{位置总数}}$
填装因子越低，发生冲突的可能性越小，散列表性能越高。经验规则:一旦填装因子大于0.7，就调整散列表长度

队列:原理和生活中队列完全一样。队列类似于栈，你不能随机访问队列中的元素。队列只支持两种操作:出队和入队。

队列

队列是一种先进先出(First In First Out, FIFO)的数据结构，而栈是一种后进先出(Last In First Out, LIFO)的数据结构。

图
图模拟一组连接。由节点和边组成。一个节点可能与总多节点直接相连，这些节点称为邻居。

图

图包括有向图和无向图。

有向图:边为箭头，箭头的方向指定了关系的方向，例如 dog $\to$ animal表示狗属于动物

无向图:边不带箭头，其中的关系是双向的，例如上海——广州表示上海可以到广州，广州也可以到上海

加权图:每条边都有关联的数字的图，这些数字称为权重(weight)。带权重的图称为加权图(weighted graph)，不带权重的图为非加权图(unweighted graph)，使用狄克斯特拉算法。

加权图

使用代码实现图:

实现图

graph = {}
graph['you'] = ['alice', 'bob', 'claire']
graph['bob'] = ['anuj', 'peggy']
graph['alice'] = ['peggy']
graph['claire'] = ['thom', 'jonny']
graph['anuj'] = []
graph['peggy'] = []
graph['thom'] = []
graph['jonny'] = []

键值对交换顺序不会有影响，因为散列表是无序的。

拓扑排序:某种程度上说，有向图构成的列表是有序的，如果任务A依赖于任务B，则在列表中任务A必须在任务B后面，这就是拓扑排序，使用它可以根据图创建一个有序列表。

集合
集合类似于列表，只是同样的元素只能出现一次，即集合不包含重复的元素。

集合操作:

1)并集意味着集合合并 setA | setB

2)交集意味着找出两个集合中都有的元素 setA & setB

3)差集意味着将从一个集合中剔除出现在另一个集合中的元素 SetA - setB

二叉树
结构为:
二叉树

对于其中的每个节点，每个节点最多只能有两个节点(对应二叉树的二),左子节点的值都比它小，而右子节点的值都比它大。

在二叉查找树中查找节点时，平均运行时间为 $O$ (log $n$ )，但在最糟的情况下所需时间为 $O$ ( $n$ )；而在有序数组中查找时，即便是在最糟情况下所需的时间也只有 $O$ (log $n$ )，因此你可能认为有序数组比二叉查找树更佳。然而，二叉查找树的插入和删除操作的速度要快得多。

二叉树数组比较

二叉树缺点:不能随机访问。此外，分布不平衡的树会造成性能不佳。也有一些处于平衡状态的
特殊二叉查找树，如红黑树。

反向索引（inverted index）
一个散列表，将单词映射到包含它的页面。这种数据结构用于搜索发动机。

策略

D&C(divide and conquer) 分而治之
分而治之是一种著名的递归式问题解决方法。提供了一种解决问题的思路。其解决问题一般分两个步骤：
1. 找出基线条件，这条件必须尽可能简单
2. 不断分解问题(或缩小规模)，知道符合基线条件
例如，推导出sum函数的递归写法:

分而治之

使用D&C可以推导出递归函数。D&C理念的方法是快速排序。

贪婪算法
优点是简单易行。每步都采取最优做法，即每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局的最优解。贪婪算法并非在任何情况下都行之有效。有些情况，贪婪算法不能得到最优解，但非常接近。

使用贪婪算法的有近似算法(approximation algorithm)、广度优先算法、狄克斯特拉算法等
动态规划
是一种解决棘手问题的方法，将问题分成小问题，并先着手解决这些小问题，在逐步解决大问题。

缺陷:动态规划时，只能考虑取或者不取，没办法只取一部分，而贪婪算法可以解决这种情况，尽可能多拿价值高的。此外，仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其它子问题时，动态规划才有用。

要设计出动态规划解决方案可能很难，常用“套路”:

每种动态规划解决方案都涉及网格。

单元格中的值通常就是你要优化的值。

每个单元格都是一个子问题，因此你应考虑如何将问题分成子问题，这有助于你找出网格的坐标轴。

使用例子:
输入错别字时，原本输入的判断：如果错输入hish，判断原输入是fish，还vista

最长公共子串

最长公共子串

伪代码

if word_a[i] == word_b[i]:
    cell[i][j] = cell[i-1][j-1]+1
else:
    cell[i][j] = 0

hish和fish的最长公共子串包含三个字母，而hish和vista的最长公共子串包含两个字母。因此很可能原本要输入的是fish。

最长公共子序列

最长公共子序列

结果:

结果

伪代码

if word_a[i] == word_b[j]: #两个字母相同
    cell[i][j] = cell[i-1][j-1] + 1
else:  #两个字母不同
    cell[i][j] = max(cell[i-1][j], cell[i][j-1])

没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案公式。

算法

1.二分查找
使用条件是列表是有序的。通过确定中位数，比较中位数于要查找的数值大小，如果大于查找的，就往中位数左侧查找，若小于查找的值，就往中位数右侧查找，循环运行，直到找到值，或没有值匹配。运行时间为 $O$ (log $n$ )

例如在100个数字中查找1,最多需要log100 $\approx$ 7步:

二分查找

代码:

def binary_search(list, item):
    low = 0 #low和high用于跟踪要在其中查找的列表部分
    high = len(list) - 1
    while low <= high: #只要范围没缩小到只剩一个元素
        mid = (low + high)/2 #检测中间元素
        guess = list[mid] 
        if guess == item: #找到元素
            return mid
        if guess > item: #猜测的数字大了
            high = mid - 1
        else:  #猜测的数字小了
            low = mid + 1 
    return None #没有指定元素

2.选择排序：循环查找，第一次循环找到最大的，第二次循环找到第二大的数值，循环知道排序完成。运行时间为 $O$ ( $n^2$ ),此处省略了 $n^2$ 系数 $\frac {1}{2}$

代码:

def findSmallest(arr): #用于查找数组中最小的值
    smallest = arr[0] #存储最小的值
    smallest_index = 0 #存储最小元素的索引
    for i in range(1, len(arr)):
        if arr[i] < smallest:
            smallest = arr[i]
            smallest_index = i
    return smallest_index
def selectionSort(arr): #对数组进行排序
    newArr = []
    for i in range(len(arr)):
        smallest = findSmallest(arr)
        newArr.append(arr.pop(smallest)) #把找到的最小值加入到新数组中
    retrun newArr

3.快速排序:是一种递归排序，基线条件是数组为空或只包含一个数组，递归条件是从元素中选择一个元素，这个元素为基准值(pivot)，找出比基准值小的元素及大的元素，分别构成两个子数组，称为分区(partitioning)，对子数组进行同样操作，找出基准值，进行分区，直到数组只有一个元素或没有元素。运行时间为 $O$ ( $n$ log $n$ )。在C语言标准库中函数qsort实现原理就是快速排序。

代码:

def quicksort(array): 
    if len(array) < 2：
        return array #基线条件:为空或只包含一个元素的数组
    else: #递归条件
        pivot = array[0]
        less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] #由小于基准值的元素组成的子数组
        greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] #由大于基准值的元素组成的子数组
        return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)

4.广度优先搜索(breadth-first search, BFS):是一种图算法，能够找出两样东西之间的最短距离。与搜素起始节点相连节点的是一度关系，与一度关系的节点相连的节点是二度关系，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系。

搜索的顺序是先找一度关系，再到二度关系中查找，知道找到目标，该路径是最短路径。运行时间为
$O$ (V+E)，其中V为顶点(vertie)数，E为边数。

代码:

from collections import deque
search_queue = deque() #创建队列
search_queue += graph["you"] #将邻居加入到搜素队列中
def object_is_target(input): #检查这个是否是查找的目标
    return input[-1] == 'm' #假设查找目标以字母m结尾
while search_queue: #只要队列不为空
    input = search_queue.popleft() #就取出其中第一对象
    if object_is_target(input):
        print ('找到目标')
        return True
    else:
        search_queue += graph[input] #如果不是目标，则将该输入的邻居加入到队列
return False #如果到达这里，说明没有找到目标

该代码的缺点是如果图中节点的邻居有重复的现象，可能把重复的对象重复加入到队列中，造成查找恶性循环，进入死循环。
优化代码：

def search(object):
    search_queue = deque() #创建队列
    search_queue += graph[object] #将邻居加入到搜素队列中
    search = [] #记录查找过的对象
    while search_queue: #只要队列不为空
        input = search_queue.popleft() #就取出其中第一对象
        if not input in searched: #仅当这个对象没有被检查过
            if object_is_target(input):
                print ('找到目标')
                return True
            else:
                search_queue += graph[input] #如果不是目标，则将该输入的邻居加入到队列
                searched.append(input) #标记该对象检查过
return False #如果到达这里，说明没有找到目标

5.狄克斯特拉算法:能够找出加权图中前往X的最短路径。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclic graph, DAG),其关键理念是找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜路径。此外，如果有负权边，就不能使用狄克斯特拉算法，因为狄克斯特拉算法假设对于处理过的节点，没有前往该节点的更短路径，而这种假设在仅在没有负权边时才成立。如果图中包含负权重，则使用贝尔曼-福德算法(书本未详细介绍,以后补充)

步骤:

找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内(最低代价)到达的节点。
对于该节点的邻居，检测是否有前往他们的更短路径，如果有，更新该节点的开销。
重复这个过程，直到对图中所有节点都这样做了
计算最终路径

代码:

def find_lowest_cost_node(costs):#在未处理的节点上找出开销最低的节点
    lowest_cost = float('inf')
    lowest_cost_node = None
    for node in costs: #遍历所有节点
        cost = costs[node]
        if cost < lowest_cost and node not in processed: #如果当前节点开销更低且未处理
            lowest_cost = cost #将其视为开销最低节点
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node
node  = find_lowest_cost_node(costs)
while node is not None:#while循环所有节点都被处理过后结束
    cost = costs[node]
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys():#遍历节点所有邻居
        new_cost = cost + neighbors[n]
        if cost[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近
            cost[n] = new_cost #更新该邻居开销
            parents[n] = node #同时将该邻居的父节点设置为当前节点
    processed.append(node) #标记节点为已经处理过
    node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下处理节点，并循环

6.近似算法(approximation algorithm):在获取精确解需要时间太长时使用。判断优劣标准:运算时间和得到近似解和最优解的接近程度。运行时间为 $O$ ( $n^2$ ), $n$ 为元素数量。

代码:

object_need = set(["a","b",...])#创建一个集合，包含所有目标
objects = {} #散列表创建
objects['sone'] = set(['a','c','e'])
objects['stwo'] = set(['b','c','d'])
...#根据图，创建所有集合，保存到objects中
final_objects = set() #创建集合来存储最终选择。
while object_need: #循环需要的目标
    best_object = None
    object_covered = set()
    for s, object in objects.items():
        covered = object_need & object #计算交集
        if len(covered) > len(object_covered):
            best_object = s
            object_covered = covered
    object_need -= object_covered #去除掉已经覆盖的
    final_objects.add(best_object)

贪婪算法

7.K最近邻算法: 可以用于分类和回归。需要考虑最近的邻居。
分类就是编组。回归就是预测结果。是机器学习的入门方法，没有显示学习过程。

算法原理:通过计算待分类元素与所有已分类元素距离，计算两位元素的距离时，使用的都是距离公式，距离公式有时也可采用余弦相似度，余弦相似度不计算两个矢量的距离，而比较它们的角度，得到与待分类元素最接近的元素所属的分类，就是待分类元素的类别。

特征抽取以为这将物品转换称一系列可比较的数字，能否挑选合适的特征事关KNN算法成败。在挑选合适的特征方面，没有放之四海皆准的法则，你必须考虑到各种需要考虑的因素。

应用:OCR字符识别;创建垃圾邮件过滤器

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