2019-03-04

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-06 20:00 被阅读0次

第三章随机变量及其分布

随机变量
- 设随机试验的样本空间为 $S = \{e\}$ , $X = X(e)$ 是定义在样本空间S上的实值单值函数，称 $X = X(e)$ 为随机变量。
伯努利试验
- 设试验E只有两个可能的结果： $A,\overline{A}$ ,则称E为伯努利试验
- 设,此时,将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
  - 注：每次实验中 $P(A) =p$ 保持不变；独立是指各次试验的结果互不影响。
泊松分布
- 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2...，而取各个值的概率为
  - $P\{X = k\} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!},k = 0,1,2,...$
  - 其中 $\lambda >0$ 是常数，则称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim \pi (\lambda )$
  - 且有
    - $\sum_{k = 0}^{\infty} P\{X = k\} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\lambda ^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k =0 }^{ \infty } \frac { \lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \cdot e^{ \lambda } = 1\mbox{泰勒公式}$
泊松分布逼近二项分布
泊松定理
- 设是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k,有
  - $\lim_{n\to \infty}(\frac{n}{k})p_{n}^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!}$
- 定理条件 $np_n = \lambda$ （常数）意味当n很大是, $p_n$ 必定很小，因此表明当n 很大，p很小( $np = \lambda$ )
- $(\frac{n}{k})p^k(1-p)^{n-p}\approx \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!}(\mbox {其中} \lambda = np)（\mbox{无穷小等价}）$
以n,p为参数的二项分布的概率值可以由参数为 $\lambda = np$ 的泊松分布的概率值近似。（ $n \geq 20,p \leq 0.05$ ）
如果对于随机变量X的分布函数，存在非负可积函数，使对于任意实数x，有
- $F(x) = \int_{-\infty}^xf(t)dt$
- X为连续型随机变量， $f(x)$ 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
- 当我们提到一个随机变量X的"概率分布"时，指的是它的分布函数，或者当X为连续型随机变量时，指的是它的概率密度，X为离散型随机变量时，指的是它的分布律。
设是一个随机变量，是任意实数，函数称为X的分布函数。
- 对于任意实数，有
  - $P(x_1<X\leq x_2) = P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\} = F(x_2)-F(x_1)$
连续型随机变量
- 均匀分布
- 若连续型随机变量X具有概率密度
  - $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a},a<x<b,\\0,\mbox{其他} \end{cases}$
  - 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为 $X\ \sim U(a,b)$
  - 易知 $f(x)\geq 0$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$
- 指数分布
- 若连续型随机变量X的概率密度为
  - $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{\frac{-x}{\theta}},x>0 \\0, \mbox{其他} \end{cases}$
  - 其中 $\theta >0$ 为常数，则称X服从参数为 $\theta$ 的指数分布
  - 性质：1、对于任意的 $s,t>0$ 有 $P(X>s+t|X>s) = P(X>t)$
正态分布
- 若连续型随机变量X的概率密度为
  - $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x< \infty$
  - 其中 $\mu,\sigma(\sigma>0)$ 为常数，则称X服从参数为 $\mu,\sigma$ 的正态分布或高斯分布，记为 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
  - 当时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用表示
    - $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}$
    - $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$
    - $\phi(-x) = 1-\phi(x)$
    - 引理：若 $X\sim N(\mu ,\sigma^2)$ ,则 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
    - 若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,则它的分布函数 $F(x)$ 可写成
    - $F(x) = P\{X\leq x\} = P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\} = \phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$
    - 对于任意区间有
      - $P(x_1<X\leq x_2) = \phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma})$
- 设 $X\sim N(0,1)$ ，若 $z_a$ 满足条件 $P\{X>z_a\} = \alpha,0<\alpha<1$ ,则称点 $z_a$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点。 $z_{1-\alpha} = -z_{a}$
定理：设随机变量X具有概率密度 $f_{X}(x),-\infty<x<\infty$ ,又设函数 $g(x)$ 处处可导且恒有 $g^{'}(x)>0(\mbox{或者}g^{'}(x)<0)$ ,则 $Y = g(X)$ 是连续型随机变量，其概率密度为
- $f_{Y}(y) = \begin{cases}f_{X}[h(y)]|h^{'}(y)|,\alpha<y<\beta,\\0,\mbox{其他}\end{cases}$
- 其中 $a = min\{g(-\infty),g(\infty)\},\beta = max\{g(-\infty),g(\infty)\}$ , $h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数