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2019-03-04

2019-03-04

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-06 20:00 被阅读0次

第三章 随机变量及其分布

  • 随机变量
    • 设随机试验的样本空间为S = \{e\},X = X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X = X(e) 为随机变量。
  • 伯努利试验
    • 设试验E只有两个可能的结果：A,\overline{A},则称E为伯努利试验
    • 设P(A) = p(0<p<1),此时P(\overline{A}) = 1-p,将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
      • 注：每次实验中P(A) =p保持不变；独立是指各次试验的结果互不影响。
  • 泊松分布
    • 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2...，而取各个值的概率为
      • P\{X = k\} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!},k = 0,1,2,...
      • 其中\lambda >0是常数，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X \sim \pi (\lambda )
      • P\{X = k\} \geq 0,k = 0,1,2,...且有
        • \sum_{k = 0}^{\infty} P\{X = k\} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\lambda ^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k =0 }^{ \infty } \frac { \lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \cdot e^{ \lambda } = 1\mbox{泰勒公式}
  • 泊松分布逼近二项分布
  • 泊松定理
    • 设\lambda >0是一个常数，n是任意正整数，设np_n = \lambda，则对于任一固定的非负整数k,有
      • \lim_{n\to \infty}(\frac{n}{k})p_{n}^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!}
    • 定理条件np_n = \lambda（常数）意味当n很大是,p_n必定很小，因此表明当n 很大，p很小(np = \lambda)
    • (\frac{n}{k})p^k(1-p)^{n-p}\approx \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda} }{k!}(\mbox {其中} \lambda = np)（\mbox{无穷小等价}）
  • 以n,p为参数的二项分布的概率值可以由参数为\lambda = np的泊松分布的概率值近似。（n \geq 20,p \leq 0.05）
  • 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x，有
    • F(x) = \int_{-\infty}^xf(t)dt
    • X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
    • 当我们提到一个随机变量X的"概率分布"时，指的是它的分布函数，或者当X为连续型随机变量时，指的是它的概率密度，X为离散型随机变量时，指的是它的分布律。
  • 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x) = P\{X\leq x\},-\infty<x<\infty称为X的分布函数。
    • 对于任意实数x_1,x_2(x_1<x_2)，有
      • P(x_1<X\leq x_2) = P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\} = F(x_2)-F(x_1)
  • 连续型随机变量
    • 均匀分布
    • 若连续型随机变量X具有概率密度
      • f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a},a<x<b,\\0,\mbox{其他} \end{cases}
      • 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X\ \sim U(a,b)
      • 易知f(x)\geq 0且\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1
    • 指数分布
    • 若连续型随机变量X的概率密度为
      • f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{\frac{-x}{\theta}},x>0 \\0, \mbox{其他} \end{cases}
      • 其中\theta >0为常数，则称X服从参数为\theta的指数分布
      • 性质：1、对于任意的s,t>0有P(X>s+t|X>s) = P(X>t)
  • 正态分布
    • 若连续型随机变量X的概率密度为
      • f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty < x< \infty
      • 其中\mu,\sigma(\sigma>0)为常数，则称X服从参数为\mu,\sigma的正态分布或高斯分布，记为X\sim N(\mu,\sigma^2)
      • 当\mu = 0,\sigma = 1时称随机变量X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用\varphi(x),\phi(x)表示
        • \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}
        • \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt
        • \phi(-x) = 1-\phi(x)
        • 引理：若X\sim N(\mu ,\sigma^2),则Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)
        • 若X\sim N(\mu,\sigma^2),则它的分布函数F(x)可写成
        • F(x) = P\{X\leq x\} = P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\} = \phi(\frac{x-\mu}{\sigma})
        • 对于任意区间(x_1.x_2]有
          • P(x_1<X\leq x_2) = \phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma})
    • 设X\sim N(0,1)，若z_a满足条件P\{X>z_a\} = \alpha,0<\alpha<1,则称点z_a为标准正态分布的上\alpha分位点。z_{1-\alpha} = -z_{a}
  • 定理：设随机变量X具有概率密度f_{X}(x),-\infty<x<\infty,又设函数g(x)处处可导且恒有g^{'}(x)>0(\mbox{或者}g^{'}(x)<0),则Y = g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
    - f_{Y}(y) = \begin{cases}f_{X}[h(y)]|h^{'}(y)|,\alpha<y<\beta,\\0,\mbox{其他}\end{cases}
    - 其中a = min\{g(-\infty),g(\infty)\},\beta = max\{g(-\infty),g(\infty)\},h(y)是g(x)的反函数

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