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数学模型——实验建模

数学模型——实验建模

作者: 0HP | 来源:发表于2020-02-05 23:14 被阅读0次

通过已知数据,尝试拟合的方程
对于y:采用阶梯向下代替,例:log_2y, 1/y,1/y^2
对于x:采用阶梯向上代替,例:x^2,x^3代替
或者是两者相反,x用阶梯向下,y用阶梯向上。
通过不断尝试,从而找到近似拟合方程的结构式(可以用最小二乘准则确定)


高阶多项式模型

根据因变量个数\rightarrow确定多项式最高阶
即多项式 P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
将所有数据带入 P(x) 计算\rightarrow 确定 a_0-a_{n-1} 的值

多项式的拉格朗日形式

给定 x_0-x_n,y_0-y_n
P(x)=y_0L_0(x)+...+y_nL_n(x)
其中
L_{k(x)}=\frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)}

优点:多项式易于估计出未知模型的积分和微分
缺点:在估计邻界值有较大误差

改进方法:

光滑化:低阶多项式模型

  1. 确定插值多项式的阶(小于最高阶)
  2. 确定系数
    过程:选取一部分值代入即可

例题:拟合方程设为 P(x)=a+bx+cx^2
产生最佳拟合数据的二次式模型,将极小化偏差平方和求出二次型
S_{min}=\sum^m_{i=1}[y_i-(a+bx_i+cv_n^2)]^2
极小化必要条件:
\frac{\partial S}{\partial a}= \frac{\partial S}{\partial b} =\frac{\partial S}{\partial c}=0
由此产生以下方程:
ma+(\sum x_i)b_i+(\sum x_i^2)c=\sum y_i\\ (\sum x_i)a+(\sum x_i^2)b+(\sum x_i^3)c=\sum x_iy_i\\ (\sum x_i^2)a+(\sum x_i^3)b+(\sum x_i^4)c=\sum x_i^2y_i
代数值求解系数


三阶样条插值

在连续的数据点对之间使用不同的三阶多项式。

线性样条:

当数据紧密排列时,估计两点(已知)间的某点取值,以假设两点间为线性函数。

三阶样条:

在区间 [x_1,_2)[x_2,x_3) ,分别定义样条函数
S_1(x)=a_1+b_1x+c_1x^2+d_1x^3\\ S_2(x)=a_2+b_2x+c_2x^2+d_2x^3
一阶与二阶导数:
S_1'(x)=b_1+2c_1x+3d_1x^2;S_1''(x)=2c_1+6d_1x\\ S_2'(x)=b_2+2c_2x+3d_2x^2;S_2''(x)=2c_2+6d_2x
在函数内部, x_2 点处导数应匹配
S_1'(x)=b_1+2c_1x+3d_1x^2=b_2+2c_2x+3d_2x^2=S_2'(x_2)\\ S_1''(x)=2c_1+6d_1x=2c_2+6d_2x=S_2''(x)
在端点 x_1x_3 处,一阶导数不变 \rightarrow 常数 \rightarrow 二阶导数为0
S_2''(x_1)=2c_1+6d_1x_1=0;S_2''(x_3)=2c_1+6d_1x_3=0
此称自然样条
若给定
S_1'(x_1)=b_1+2c_1x_1+3d_1x_1^2=f'(x_1) 以及
S_2'(x_3)=b_2+2c_2x_3+3d_2x_3^2=f'(x_3)强制样条

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