导读：通常所说的数学建模或数学模型背后就是整个现代科学的一个基本框架。然而这个“数学模型”本身并非数学概念；数学与逻辑中对模型概念另有界定。表面看，这是词语使用上的冲突。它们背后的玄机尚未厘清。
提到模型与数学，最容易联系到的概念就是“数学模型” (mathematical models)。这个数学模型指对于某种系统或现象的数学描述，基本的形式是数学方程式。所谓“数学建模”，基本上就是应用数学来解决特定问题另一种说法：一旦对问题（所涉及的对象）建立了有效的数学描述，即数学方程式，就代表我们“认清”了这个对象。也就是说，在一个特定的范围内，我们可以用数学方程式来描述、预测这个对象/问题。
有效或满意的数学描述 (模型)，要符合一些基本的条件：
- 运用的数学本身是正确的，是一个逻辑自洽的形式系统。
- 和描述对象之间所建立的关系是确定的，可重复的。这通常表现为一组变量，它们就是构成数学方程的基本要素，而对于描述对象，他们可以重复地度量 (观测)。
- 上述关系成立的范围足够明确而充分——在有限范围内，满足我们对问题的界定和需要。所谓范围，一方面表现为所涉及的目标范围及观测的“点”(涉及哪些变量)，一方面常包括一些条件和假设。
- 上述关系得到了足够精确的验证：数学演算的结果足够准确地符合观测的结果，这种验证是可重复的。
基本上我们从中学开始，就学习和训练使用上述方法；并且，这个看似平凡的框架，也就是整个当代科学所遵循的基本框架。每当有一些学科不能充分地运用或体现这一框架，就会被质疑其“科学性”或有效性。
然而，尽管这个框架如此普遍和重要，从模型概念的立场看，上述“数学模型”等却一直伴随着一些困惑，被称为“模型之惑”：首先，对问题或现象的数学描述 (包括方程式)，也常常被称为一个“理论”(theory)。即使在最严格和经典的学术文献中，二者也常常被互换地使用，例如粒子物理学的经典“标准模型”(Standard Model), 也被称为“标准理论”(Standard Theory)——这背后自然会有争论，但没有公认的结果，每一种用法都可以出现在最顶级的科学论文中。另一方面，听来有点奇怪，上述最耳熟能详的“数学模型”本身其实并非数学概念——真正数学“中”的模型概念，在数理逻辑中另有专门定义。它源于上个世纪30年代塔斯基的著名工作，并由此开创了数理逻辑的重要分支：模型论。因此，学者们在提到“模型”时，常会提示：这里讨论的是或不是数理逻辑的模型概念，以免鸡同鸭讲。
标准模型及反、正两个模型论符号(原图取自commons.wikimedia.org，公共领域作品)
数理逻辑中对“模型”的界定，正是对形式语言的“理论”(陈述) 而言的：
理论是形式语言句子的集合；模型是理论的“解释”(interpretation)。
这个解释是一个“结构”(这个概念很重要，但本文就不进一步解释了，可参见下面的例子理解)，它对理论中的词汇 (变量) 做出说明，使得理论的陈述成立。例如，杜撰这样一个陈述 S：
S
{犛和儷是黼}
它的一个解释 (模型，即结构) M1 可以是这样的：
M1
({犛, 儷 | 犛: 男人名, 儷: 女人名}, {黼: 夫妻关系})
按模型论的习惯，可记做 M1 |= S。根据这个解释，陈述“犛和儷是黼”的意义就是名为“犛”的男人和名为“儷”的女人是夫妻。但同样的陈述也可以用另外的模型 M2 来解释：
M2
({犛, 儷 | 动物种类}, {黼: 天敌关系})
即 M2 |= S。根据后一个解释，陈述“犛和儷是黼”的意义就是名为“犛”和“儷”的动物是天敌。由此也可以看到，模型论之模型为语句（理论陈述）赋予意义。这就构成了一个研究语义的逻辑基础——形式语义学正由此而立。
回顾一下开头所说“数学模型”，以数学概念（量）描述了某种事情——与数理逻辑模型论的定义比较，此“数学模型”正对应着模型论意义的“理论”而非“模型”；换言之，这两种“模型”定义在词语上似乎是冲突的。这个问题还可以引申到更多的情形，例如，计算机领域的统一建模语言 (UML) 是专门用来对系统做出描述——建立该系统的模型的。UML有图形化表示，但也是一种形式语言；而它建立的描述，不是按照模型论那样称为“理论”，而是从来都被视为“典型的模型”。W. 霍奇斯在斯坦福哲学百科的模型论条目中，就曾经用这个例子来说明两种模型概念的区别：一方面，是科学家或工程师将形式语言对现象或系统做出描述（陈述）称为模型；一方面是模型论学家将此类陈述称为理论而将其上的结构称之为模型。对“模型”一词的两种用法直接撞车，对于特别“计较”概念严谨性的科学家或逻辑学家，这其实有点难堪：和某些一词多义的情形不同 (他们确实这样解释或搪塞的)，这两种用法在所谓“理论”（形式语言陈述）上是重叠的，似乎说明有一方而词语时违背了习惯的用法。但追究起来，却不像表面上那么简单。这些问题，也是科学哲学领域的一个研究课题。其中比较有代表性的观点，如P. 苏佩斯就主张模型概念在实证科学领域和数学领域具有相同的意义，都是集合论的结构 (基本上等同于前述模型论定义的结构/模型)。这种观念有许多变种，总体上被称之为理论的语义观。这种观念虽然比较流行，但远未达成共识。
模型概念背后这种概念冲突，可能是模型论在诸多模型化领域应用的一个阻碍因素，因为大家通常会认为此模型不是彼模型而直接无视；另一方面，也是更值得重视的，可能因此而掩盖了数理逻辑模型论的基本原理和所有的模型化背后的基本原理的深层关系——这正是笔者感兴趣和一直试图澄清的一个重要地方。
作者印：dcb442
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