谱分解
设为阶方阵,。由于,因此也是的特征值。这样就存在,使得。若可对角化,即存在可逆,使,其中为的特征值。这时有。
设,则线性无关,也线性无关,且。
这样就有称为的谱分解,特征值也称为的谱。
若,则可记为,
其中有如下 性质:
由于实对称阵可对角化,因此实对称阵谱分解存在。不可对角化的方阵没有谱分解。
例:求的谱分解。
解:先求的特征值和特征向量。
,故可对角化,从而的谱分解一定存在。
对用特征向量为,
令,则可逆,且,
这样,有即为的谱分解。
设为阶方阵,。由于,因此也是的特征值。这样就存在,使得。若可对角化,即存在可逆,使,其中为的特征值。这时有。
设,则线性无关,也线性无关,且。
这样就有称为的谱分解,特征值也称为的谱。
若,则可记为,
其中有如下 性质:
由于实对称阵可对角化,因此实对称阵谱分解存在。不可对角化的方阵没有谱分解。
例:求的谱分解。
解:先求的特征值和特征向量。
,故可对角化,从而的谱分解一定存在。
对用特征向量为,
令,则可逆,且,
这样,有即为的谱分解。
本文标题:矩阵分析学习笔记(三)-矩阵的分解
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