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矩阵分析学习笔记(三)-矩阵的分解

矩阵分析学习笔记(三)-矩阵的分解

作者: 明天过后_002b | 来源:发表于2019-05-18 16:26 被阅读0次

    谱分解

    An阶方阵,A\alpha=\lambda\alpha(\alpha\neq0)。由于\mid\lambda E-A\mid=\mid\lambda E-A^T\mid,因此\lambda也是A^T的特征值。这样就存在\beta\neq0,使得A^T\beta=\lambda\beta。若A可对角化,即存在可逆P,使P^{-1}AP=diag\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace,其中\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nA的特征值。这时有P^TA^T(P^T)^{-1}=diag\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace

    P=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace, P^{-1}=\lbrace\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\rbrace^T,则\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性无关,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n也线性无关,且A\alpha_i=\lambda\alpha_i, A^T\beta_i=\lambda_i\beta_i. (1\leq i\leq n)

    这样就有A=P\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix} P^{-1}=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\vdots\\\beta_n^T\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\alpha_i\beta_i^T称为A的谱分解,特征值\lbrace\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\rbrace也称为A的谱。

    A_i=\alpha_i\beta_i^T,则可记为A=\sum_{i=1}^n\lambda_iA_i

    其中A_i有如下 性质:

    1. A_i^2=A_i (i=1,2,\cdots,n)
    2. A_iA_j=0 (i\neq j)
    3. \sum_{i=1}^nA_i=E

    由于实对称阵可对角化,因此实对称阵谱分解存在。不可对角化的方阵A没有谱分解。

    例:A=\begin{bmatrix}4&-6&0\\2&-3&0\\-2&3&2\end{bmatrix}的谱分解。

    解:先求A的特征值和特征向量。

    \lambda=0,1,2,故A可对角化,从而A的谱分解一定存在。

    对用特征向量为p_1=(3,2,0)^T,p_2=(2,1,1)^T,p_3=(0,0,1)^T

    P=(p_1,p_2,p_3)=\begin{bmatrix}3&2&0\\2&1&0\\0&1&1\end{bmatrix},则P可逆,且P^{-1}=\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\beta_3^T\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&2&0\\2&-3&0\\-2&3&1\end{bmatrix}

    这样,有A=P\begin{bmatrix}0\\&1\\&&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1^T\\\beta_2^T\\\beta_3^T\end{bmatrix}=p_2\beta_2^T+2p_3\beta_3^T即为A的谱分解。

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