矩阵分析学习笔记（一）-矩阵的分解

作者: 明天过后_002b | 来源:发表于2019-05-16 21:24 被阅读4次

矩阵的 $LR$ 分解

定理：存在单位下三角阵 $L$ 和可逆上三角阵 $R$ ，使得 $A=LR$ 的充分必要条件是 $A$ 的各阶顺序主子阵 $A_k$ 可逆。
例：将矩阵 $A$ 分解为单位下三角阵 $L$ 和可逆上三角阵 $R$ 的乘积。
$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix}$
解：只需要对 $A$ 用 $r_i+kr_j$ 类行初等变换，其中 $j<i$ （这是为了保证右半边始终为下三角，取其逆则为上三角）。
$(A,E)\rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 &-24 & -11 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
取
$R=\left[ \matrix{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -5\\ 0 & 0 & -24\\ }\right],L^{-1}=\left[ \matrix{ 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -11 & 4 & 1\\ }\right]$
则有
$L=\left[ \matrix{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -5\\ 0 & 0 & -24\\ }\right]$
则有 $A=LR$ 。