矩阵分析学习笔记（五）-矩阵的分解

作者: 明天过后_002b | 来源:发表于2019-05-18 16:46 被阅读0次

QR分解

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，则存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ 和可逆上三角阵 $R$ ，使得 $A=QR$ ，称为矩阵 $A$ 的 $QR$ 分解。

证明：将矩阵 $A$ 按列分块为

$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$

由 $A$ 可逆，知 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关，用归纳法选取

$\beta_j=\alpha_j-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{(\alpha_j,\beta_j)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i,j=1,2,\cdots,n.$

即

$\alpha_j=\beta_j+\sum_{i=1}^{j-1}\frac{(\alpha_j,\beta_j)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i,j=1,2,\cdots,n.$

由施密特(Schmidt)正交化定理知 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 两两正交。

再取

$\delta_i=\frac{\beta_i}{\Vert\beta_i\Vert},i=1,2,\cdots,n$ （单位化）

则 $\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n$ 是两两正交的单位向量，

则有
$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$

$=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n) \begin{bmatrix} \Vert\beta_1\Vert \\ & \Vert\beta_2\Vert \\ && \ddots \\ &&& \Vert\beta_n\Vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$
其中 $b_{ij}=\frac{(\alpha_j,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)},1\leq i\leq j\leq n.$

令
$Q=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n),R= \begin{bmatrix} \Vert\beta_1\Vert \\ & \Vert\beta_2\Vert \\ && \ddots \\ &&& \Vert\beta_n\Vert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ & 1 & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ &&& b_{n-1,n} & 1 \\ &&&& 1 \end{bmatrix}$
则有 $A=QR$ .

并且，因为 $n$ 阶方阵 $Q$ 的列向量组是 $\mathbb R^n$ 的一个标准正交基，所以 $Q$ 为正交矩阵；因为矩阵 $R$ 是可逆对角阵与可逆上三角阵之积，故 $R$ 是可逆上三角阵。

例：求矩阵 $A$ 的 $QR$ 分解，其中 $A=\begin{bmatrix}2&-2&3\\1&1&1\\1&3&-1\end{bmatrix}$ .

解：将矩阵 $A$ 按列分块为 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ,即 $\alpha_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix},\alpha_2=\begin{bmatrix}-2\\1\\3\end{bmatrix},\alpha_3=\begin{bmatrix}3\\1\\-1\end{bmatrix}$

按照施密特正交化方法，得
$\beta_1=\alpha_1= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\1 \end{bmatrix},即\alpha_1=\beta_1$

$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1= \alpha_2= \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\3 \end{bmatrix},即\alpha_2=\beta_2$

$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2= \alpha_3-\beta_1+\frac{4}{7}\beta_2=\frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\-2 \end{bmatrix},即\alpha_3=\beta_1-\frac{4}{7}\beta_2+\beta_3$

将上述结果写成矩阵形式：
$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\beta_1,\beta_2,\beta_3) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{4}{7}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -2 & -\frac{1}{7}\\ 1 & 1 & \frac{4}{7}\\ 1 & 3 & -\frac{2}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{4}{7}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt6} & -\frac{2}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{4}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt6 \\ & \sqrt{14} \\ && \frac{\sqrt{21}}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ & 1 &-\frac{4}{7} \\ && 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt6} & -\frac{2}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{4}{\sqrt{21}}\\ \frac{1}{\sqrt6} & \frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt6 & 0 & \sqrt6\\ 0 & \sqrt{14} & -\frac{4\sqrt{14}}{7}\\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{21}}{7} \end{bmatrix}\triangleq QR$

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