基变换
之前的我们都是在基向量为，
下表示向量和线性变换。一个很自然的想法，空间中的基向量有无数组，如果选择其他基向量作为我们的基向量，相应地，坐标系也会发生变动。已知一个向量在某组基向量下的坐标，如何表示其在另一个坐标系（基向量）下的坐标呢？这就涉及到基向量的相互转换了。
1.她坐标系向量
我坐标系向量
举个例子，我选择了一组基向量，
。小丽选择了一组基向量
，
。上述基向量表示都是在我的坐标系下，而以小丽的视角来看（小丽的坐标系下），她选的基向量是
，
。
有了上面的前提，来看问题：
如果小丽坐标系下有一个向量表示为
，即
(以小丽的视角)，那么在我们的坐标系下
的坐标会是什么？
如下图所示：
小丽的向量变为我的向量
在给出的条件中，我们知道了线性变换表示将我们的基向量变换为小丽的基向量，也就是把我的坐标系变为了小丽的坐标系。但是，注意！
小丽的坐标系下的向量在变换之后仍然使用我们的“语言”(基向量)来描述。因此，小丽坐标系中的任一向量在进行变换
后就变成了我“语言”表示的向量。
所以的坐标是
(在我的坐标系下，用我的基向量表示)
我坐标系表示(-1,2)
看完了上述问题，大家可能会觉得疑惑，明明是：
: 小丽坐标系下向量坐标
我坐标系下向量坐标
可是:
:我坐标系
小丽坐标系（我的基向量表述）
大家不妨这么理解：
空间中向量想要相同，需要向量的方向和大小都相同。而坐标系这个东西只是我们为了方便研究而人为定义的，真实空间中并不存在任何坐标系。小丽的向量
在空间中的位置和大小都已经确定（在她的基向量下），而小丽和我的基向量在同一个坐标系下不相同，必然导致小丽的
不是同一个向量。因此，要将我空间的
相信大家这时候开始懵逼了，怎么出现了我坐标系下的呢？
因为小丽坐标系下的已经在空间中确定好了，不管坐标系如何变，反正
的位置和大小不会变。而要找到
在我坐标系下的表示，自然就要从我坐标系下找一个向量(设为
)，它在经变换后能够与
向量重叠。此时变换后的
向量即是
向量在我坐标系下的表示。
那为什么偏偏是
？为什么不是其他向量经变换后与
重叠？
线性空间中，向量是在基向量下表示的，不管基向量怎么变，向量对基向量的缩放倍数肯定是不变的，这在之前我的笔记1中有提到。也就是说小丽坐标系下
它在我坐标系下的坐标不是，但肯定能表示成
的形式，
是两个基向量的坐标，它们可以是任意的。
我们想找到一个向量能跟重叠，那么很好办了，在我坐标系下对基向量缩放倍数为
，
的就是
。只有它才能经线性变换后变为
，接下来就是之前的坐标计算了。
我坐标系下的向量
小丽坐标系下的向量
可能大家还是会觉得很绕很烧脑，没关系，多看几遍，最好是自己动手在纸上推演这个过程，相信一定可以弄懂的。
2.我坐标系向量她坐标系向量
有了第一节的基础，那么第二节就很好理解了。
还是第一节的例子，不过此时情况反转了，已知我坐标系下的向量，那么这个
在小丽坐标系下如何表示呢？我们设其为
。
用第一节的方式来理解，我坐标系下为已知向量，同时小丽坐标系下也有一个
向量，注意这俩个不是同一个向量，因为它们在空间中的方向和大小都不一样(两者基向量不同)。那么问题变为：
从
转换（想象成移动向量线段的箭头，尾部也就是原点保持不动）为
。
至于为什么可以这么变，大家可以看前一节的解释。
现在问题就简单了，在小丽坐标系下她的基变量是怎么变换的呢？自然就是第一节中线性变换的逆变换。也就是
具体如下：
小丽的基向量，
（小丽的坐标系下），变换为我的基向量（小丽的坐标系下），原本我们不知道我坐标系下
，
在小丽坐标系下如何表示，但是我们知道之前小丽坐标系下的基向量在我坐标系下如何表示，也就是
那么现在只要取逆就行，它表示将小丽的基向量移动到了我基向量原本所在的位置，同时用的小丽的坐标系表示。
逆变换
3.她坐标系向量她坐标系向量
还有一种情况也是比较常见的，全程都在小丽的坐标系下进行变换，也就是说以我的视角来看基向量不是，
了。
这时候怎么潇洒地写出变换后的她坐标系向量呢？
直接写肯定不行，因为我们不知道小丽坐标系下基向量是如何变换的。我们只知道我坐标系下基向量是如何变换的。
那么只好曲线迂回了，回想下1、2节的情况，我们可以列出下列步骤：
她坐标系向量
所以事情就简单了，按之前的1、2节来吧。
1.她坐标系向量我坐标系向量
小丽坐标系下的任意向量，经过第一节的变换，得到结果如下：
变成了我坐标系下向量，那就好办了，我坐标系下可以观察到基向量，想怎么变就怎么变，一切都在我的掌控中:)
2.线性变换
假设她空间中坐标轴旋转了90度，也就是在我空间中旋转坐标轴90度。那么结果如下：
3.我坐标系向量她坐标系向量
直接用第二节的结论，得到：
看成一个线性变换
这就是最后的答案了，是用她坐标系表示的向量。是不是感觉很眼熟，来看下相似矩阵的定义：
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得
则称矩阵A与B相似，记为A~B。
原来相似矩阵是指不同坐标系下的相同变换。它们的表达不一样，但效果却是一样的。都是对空间进行了相同的线性变换。例如上文说的都对空间旋转了90度。
4.参考
主要内容来源于b站up主@3Blue1Brown的线性代数的本质
码字不易，觉得有帮助的话还请点个喜欢哦~
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