线性代数的本质（笔记1）

本文来自blibli (线性代数的本质)

1. 向量究竟是什么

1.1向量(Vector)：

1. 物理领域，向量是空间中的箭头，是由方向和长度确定的一个量。
2. 计算机领域，是一个有序的数字列表，比如[1,2,3]T。

3. 数学领域，更加抽象，可以进行相加和数乘操作的任何量。

   
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1.2向量加法

加法：沿两个向量运动的方向运动到的的最终方向

1.3向量乘法

乘法：向量在其方向上scale的大小

2. 线性组合、张成的空间与基

2.1基向量

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• 两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合

为什么叫线性？
因为只要固定一个向量，任意改变另一个向量，在平面上可以画出一条直线

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2.2张成空间: 即一组基向量通过线性组合能够表达的向量集合。

1. 在大部分的二维里，向量张成的空间是一个二维平面；
2. 如果向量在同一条直线上，那么它们张成的空间也就是一条线。

• 如果考虑单个向量，把它当做是一条线；而如果考虑一个向量集合，把每一个向量表示为一个点。（在几何可视化的时候更加清晰）

2.3线性相关

1. 线性相关(linearly dependent)：如果你有一组n个向量，而其中存在一些向量，即使把这些向量去掉，也不会减少张成空间的维度，那么这组向量线性相关。

2. 如果一组n个向量线性无关，那么可以张成n维空间。

   
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3. 当一个向量的变化会改变其它向量张成的空间，即称为线性无关。（这个向量的变化没有在其它向量张成的空间里。）

2.4基的严格定义

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3. 矩阵与线性变换

3.1 线性变换

• 就是一个向量通过变换输出成另外一个向量。（也就是把一个向量作为一个输入值，传给一个函数，然后输出另外一个向量）

• 这里变换跟函数是一个意思，用变换这个词能让我们从运动的角度来分析。

• 满足两个条件即可认为是线性变换：

1. 变换前在一条直线上的点（向量），变换后仍然在一条直线上；（包括对角线的向量）

2. 变换过程中，原点的位置不能变。（能变的是仿射变换affine transformation）

   
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• 如何用数值描述线性变换？

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• 也就是说，假定在原来的坐标（基向量为(1,0)和(0,1)）里有一个向量(x , y)，我们想知道它通过线性变换后，是会出现在什么位置？

• 那么就可以通过先知道变换后的基向量的位置（基向量变为(a,c)和(b,d)），再将基向量跟这个向量进行线性组合即可。

  
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4 矩阵乘法与线性变换复合

4.1 多次变换（假设先旋转再剪切）后的矩阵其实也就是一个复合的矩阵。

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• 两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用

• 把 左边矩阵 看作是 右边矩阵 变换后的 基向量。

  
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4.2 M1M2 ≠ M2M1; (AB)C = ABC

• i = [1,0] , j = [0,1]

  
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