2019-04-25

2019-04-25

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-04-26 17:31 被阅读0次

向量空间、基、维数、坐标
是的非空子集，若
- 满足1、 $\forall \alpha,\beta \in V,\alpha+\beta \in V$ ，封闭
- 满足2、 $\forall \alpha \in V,k\in R,k\alpha\in V$
- 就称 $V$ 是 $R^n$ 的子空间，或向量空间
定义，设是向量空间，.若
- 1、 $\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r$ 线性无关
- 2、 $\forall \eta \in V$ ,并可以由 $\alpha_1,...\alpha_r$ 线性表示，则 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$ 是 $V$ 的一组基。
$V$ 的任意两组基中向量的个数相同，称为 $V$ 的维数 $dimV$
定义：设 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$ 是 $V$ 的基， $\eta\in V,\eta = x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_r\alpha_r$ 称 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\...\\x_r \end{pmatrix}$ 为 $\eta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$ 下的坐标
基变换和坐标变换
过渡矩阵的定义
- 定义：设 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s;\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 是 $V$ 的基， $\beta_j = k_{1j}\alpha_1+k_{2j}\alpha_2+...+k_{sj}\alpha_s,1\leq j \leq s$ ,令 $k = (k_{ij})_{s\times s} = \begin{bmatrix} k_{11}& ...&k_{1s} \\ k_{21} & ...&k_{2s} \\...\\ k_{s1} & ...&k_{ss} \end{bmatrix}$ ,称 $K$ 是从基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 到 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 的过渡矩阵。
定理：如果向量空间 $V$ 的基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 到基 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 的过渡矩阵是 $P$ ,向量 $\eta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 下的坐标是 $X$ ,在基 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 下的坐标是 $Y$ ,则 $Y = P^{-1}X$
内积
定义：设,规定的内积为的分量的乘积之和，记为，如果是列向量，,如果是行向量，
- 性质：1、对称性， $[\alpha,\beta] = [\beta,\alpha]$
- 2、齐性， $\forall k,[k\alpha,\beta] = k[\alpha,\beta]$
- 3、可加性， $\forall\alpha,\beta,\gamma,[\alpha+\beta,\gamma] = [\alpha,\gamma]+[\beta,\gamma]$
- 4、恒正性， $\forall \alpha,[\alpha ,\alpha]\geq 0$ 且 $[\alpha,\alpha] = 0\iff \alpha = 0$
Cauchy不等式： $\forall \alpha,\beta,|[\alpha,\beta]|\leq \sqrt{[\alpha,\alpha]}\cdot \sqrt{[\beta,\beta]}$
定义： $\alpha,\beta\in R^n$ ，如果 $\alpha,\beta \neq 0$ ，夹角 $\phi = arc\cos \frac{[\alpha,\beta]}{ \sqrt{[\alpha,\alpha]}\cdot \sqrt{[\beta,\beta]}}$ , $\alpha$ 的长度（模)，记为 $\Vert\alpha\Vert = \sqrt{[\alpha,\alpha]}$ ,如果 $[\alpha,\beta] = 0$ ，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，记为 $\alpha \bot \beta$
性质：
- $\forall \in R^n$ , $\Vert\alpha \Vert\geq 0$ ,且 $\Vert \alpha\Vert = 0 \iff \alpha = 0$
- $\forall \alpha\in R^n,k\in R,\Vert k \alpha\Vert = \Vert k\Vert \cdot \Vert \alpha \Vert$ ,特别如果 $\alpha \neq 0$ ,取 $k = \frac{1}{\Vert \alpha \Vert}$ , $\Vert \frac{1}{\Vert \alpha \Vert}\cdot \alpha \Vert = 1$ 长度为1的向量称为单位向量。 $\frac{1}{\Vert \alpha \Vert}\cdot \alpha$ 将向量单位化。
三角不等式 $\forall \alpha,\beta \in R^n,\Vert\alpha+\beta\Vert \leq \vert\alpha\Vert +\Vert\beta\Vert$
勾股定理，若 $\forall \alpha,\beta \in R^n,\alpha \bot \beta , \Vert\alpha+\beta\Vert ^2= \Vert\alpha\Vert ^2+\Vert\beta\Vert^2$
标准正交向量组和正价矩阵
定义：两两正交的非零向量构成的向量组称为是正交向量。
定理：正交向量组线性无关
若正交向量组中每个向量是单位向量，则称其为标准正交向量
Schmidt正交化方法，线性无关的
- 正交化
  - $\beta_1 = \alpha_1$
  - $\beta_2 = \alpha_2-\frac{[\alpha_2 ,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1$
  - $\beta_3 = \alpha_3-\frac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}\beta_2-\frac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1$
  - $\beta_s = \alpha_s-\frac{[\alpha_s,\beta_{s-1}]}{[\beta_{s-1},\beta_{s-1}]}\beta_{s-1}-...-\frac{[\alpha_s,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1$
单位化
- 令 $\gamma_{j} = \frac{1}{\Vert\beta_j\Vert}\beta_j,1\leq j\leq s$ ,则称 $\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s$ 与 $\alpha_1,...,\alpha_s$ 等价的标准正交基
定义：设 $A$ 是 $n\times n$ 实矩阵，若 $AA^T = E$ ,则称 $A$ 是正交矩阵。
定理：设 $A$ 是 $n\times n$ 实矩阵，则 $A$ 是正交阵，当且仅当 $A^{-1} = A^T$ , $A$ 的列（行）向量组是 $R^n$ 的标准正交基

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