王梓瑜讲义1.19 因式分解练习

作者: 苏格兰低地弟弟打滴滴 | 来源:发表于2020-01-18 22:35 被阅读0次

因式分解应用

例题：已知对于任意的大于2的整数 $n, n^{5}-5 n^{3}+4 n$ 都是正整数m的倍数，求m的最大值。

(n-2)(n-1)(n)(n+1)(n+2)

这是5个连续整数的乘积，一定是5！=120的倍数

排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个元素的排列数 $A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) \dots \dots \cdot(n-m+1)=n ! /(n-m) !$

组合数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，从n个不同元素中取出m个元素的组合数 $C_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) \dots \dots \cdot(n-m+1)/m!=n ! /m!(n-m) !$

排列数可以看成n个人找m个拍合照，组合可以看成n个人找m个值日。拍合照需要注意顺序，值日不用。

因为组合数一定是整数，所以 $n(n-1)(n-2) \dots \cdots \cdot(n-m+1) / m !$ 是整数。也就是分子是分母的倍数。所以任何m个连续整数的乘积都是m！的倍数。

所以这题答案是120。

例题：计算： $\frac{\left(2^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(4^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(6^{6}+\frac{1}{4}\right)\left(8^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(10^{4}+\frac{1}{4}\right)}{\left(1^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(3^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(5^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(7^{4}+\frac{1}{4}\right)\left(9^{4}+\frac{1}{4}\right)}$