中考复习研讨会：众里再寻“它”——与圆有关的共线最值问题 详案

老师的话：每个人的心里，都藏着一个了不起的自己！只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，保持着自信，坚持着目标，只要上路，总会遇见庆典！

中考复习研讨会：众里再寻“它”——与圆有关的共线最值问题 详案

【教学目标】

1.让学生直观感受圆内（外）一点与圆上一点的最近或最远位置。

2.了解其最近或最远的理论依据

3.学会运用运用“共线最值”求线段的最大或最小值。

【教学设计】

一、导入新课（小视频引入—出示课题两个点位置动画）

二、基本结论（证明达成）

三、基础应用（三个变式）

四、拓展提升1（1.P定点旋转最值，2.P动点旋转最值，以静制动）拓展提升2（折叠对称，定点定长）

五、梳理构建（3-2-2）—治学三境界（激励挑战）

六、挑战自己（正向、逆向思维大PK）

【课前准备】：几何画板  画三个圆 板书322序号 学案提早下发

【教学过程】

一、导入新课

        小视频引入（流浪地球）

同学们，刚刚给大家看的“小视频”是寒假里非常火爆的一部电影叫——流浪地球，这部电影引发了人们对太空的不断探索和思考。

今天，我们也来蹭一蹭这波热度，请思考下面的这个问题：

【问1】：在月球公转的过程中，何时日月距离最近？（生若说：三点共线，追问：哪三点？）

二、基本结论

      我们可以把它抽象成数学问题，如果我们把地球看成点O，因为月球围绕着地球公转，月球看成圆O上的点A，太阳看成点P。这题就转化了：求圆外一点P与圆上一点A的何时距离最近？

追问1.1:你能找到最近的那个点吗？让我们一起来画一画？并试着证明。完成基本结论部分1、2

学生活动：完成导学案中的基础图形证明

追问1.2:（找个做对的学生）你能试着说一说吗？为什么这个点最近？生说证明过程，教师板书。这位同学，巧妙的把三点之间的连线转化成三角形三边关系。很好的解决了这个问题。这种数学思想叫“化归或转化”思想。（板书：转化）

【问2】：那如果点P不在圆外，而在圆内呢？（生：三点共线）你能找到吗？

【教师板书】：圆心、动点、定点

归纳：通过刚才的证明，我们发现，当圆心、动点、定点三点共线的时候，线段AP可以取到最值。简称“共线最值”

追问2.1：我们这个结论，要用它，需要找到什么条件? 那更具体一点，是那三个点呢？（圆心、动点（动点与圆心连线是定值），定点（与圆两种位置，这个定点可能在圆外、也可能在圆内）

过渡2-3:现在让我们用这个基本结论，来完成基础应用1

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三、基础应用

  让学生先独立完成基础应用，请学生分析第一题。

师：要想确定线段的取值范围，我们应先找线段最大最小值（也就是找点取到最值的特殊位置）。

【变式1】

师：如果我给这道题目添上一个直角坐标系，大家还能做吗？

学生回答，师作图，请你来分析解题过程。

师：这位同学，写得很详细，思路也很清晰，你来说一说。生讲师板书。

【变式2】

师：刚才的两个题目，我们都是知道了定点和圆求最值。现在你能根据线段最值求圆的半径吗？

【变式3】（西沃助手 展示学生答错的题目）纠错提醒：位置不确定，所以需要分类（板书2分类讨论）师：请这位同学说你是怎么做的？生口答

【问3】：变式2和变式3一样吗？哪里不一样？条件“圆外”一点和“平面上”一点不一样。

追3.1:这个不一样导致了什么？（不一样，条件“圆外一点”和“平面上一点”）你来讲一讲？分为点P在圆外时和点P在圆内时两种位置情况。强调 变式3 需分类讨论（找一个做错的同学投影）

过渡：同学们，以上题目大家比较容易找到圆心、定点、动点，我们运用这个基本结论最重要的是：在背景图形中，先要找到圆心与动点形成的轨迹圆以及圆外或圆内的定点，之后利用三点共线求最值。但有的题目背景复杂，看似无“圆”实则有“圆”，让我们带着这个经验完成下一题。

四、拓展提升

拓展1

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拓展2

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【拓展提升1】

师：这是一道折叠图，我们可以尝试多画几条折痕，多折叠几次，画几个状态图帮助思考。 学生完成，教师巡视。并指导师先用几何画板展示点B‘的轨迹，并提问学生。

【问4】折叠的的本质是什么？折叠过程中哪些量（可能是点，也可能是线段）是始终保持不变的？（折叠的本质是轴对称，在这个变换中，点E始终是定点，线段EB始终是定长。）在折叠中，我们只要抓住“定点定长”，就可以得出点B的轨迹其实就是一段圆弧。我们要学会找到隐含在里面的圆。

师：小结，我们可以发现在折叠（轴对称）变换中会呈现出圆，那除了折叠，其他的有没有呈现出圆呢?我们来看第2小题。

【问5】在三角形ABC绕点B旋转的过程中，谁可以转化成圆心（提示：旋转中心是？）动点是什么？（提示：线段___的长度是一个定值）？定点是什么？点P 的轨迹是什么？引导学生：P1是动点，绕着B点旋转，由于BP是定值，所以P点的轨迹是圆。

追问5.1：要想找到最值（运用三点共线最值）共线在哪里？（圆心是？定点是？动点是？）师：当图形比较复杂的的时候，我们可以抽丝剥茧，抓住最关键的“三个点”来解决问题。

【问6】我们知道，在上一题中，点B是圆心，在旋转过程中线段PB的长始终是定值。那如果点P是一个动点呢？会怎样？

追问6.1  点P在什么位置的时候，与点B的连线最长，什么位置最短？（几何画板展示不同的圆） 多换几个位置，这样的点有几个？（无数个）

追问6.2  那这些圆中有没有最大的？有没有最小的？谁最小。一条线段旋转形成的是圆环。那么在这个圆环上哪一个点到E点距离最近？（EP是最小的）哪一个点距离最远（使得EP是最大的）。根据经验我们可以连接定长BE

学生解决：点P在C点时，旋转形成的圆最大，当BP⊥AC时，得到圆最小。怎么求最值？

【问7】如果老师把E点的位置往上挪一挪，当BE=2.6时，此时的取值范围会有变化吗？为什么？

接下来我们来梳理一下这节课所学的知识、数学思想及方法。

五、梳理构建

中考复习研讨会：众里再寻“它”——与圆有关的共线最值问题 详案

1.运用“共线最值”这个基本结论，最关键是找到什么？动点、定点、圆。 

2.我们结合（勾股定理、旋转、圆的性质、三角形的三边关系、三角函数）等知识，运用（正向思维、逆向思维）等解题方法，渗透了（分类讨论、数形结合、转化）等数学思想，重点对与圆有关的共线最值进行了探究。

中考复习研讨会：众里再寻“它”——与圆有关的共线最值问题 详案

出示：治学三境界，同学们，接下来，老师要将著名学者王国维的治学三境界送给大家：大家一起来读一读。中考即将来临，奋斗的过程是艰辛的，结果是美好的。让我们一起潜下心来，悬思—苦索—顿悟，进入治学最高境界，定能在六月中考中大获全胜，让我们拿出勇气，一起来完成挑战自我。

六、挑战自我

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主要点播思路，课后探究。提醒解题方法，不要求计算过程。

追问：同学们，在这一题中，你能找到基本结论中的圆心（0）、定长（？）、定点（？）。根据条件出发，我们发现找不到所需的点，不如让我们换个角度。我们仔细观察图形，发现图中有90角和线段AB始终是不变的，符号了“定弦长定张角”的特点，我们可以把点O看成是圆周上运动的一点，运用逆向思维，很好的破解这一题。

方法2:我们也可以利用OD与BD的长是定值，连接OB，转化成三角形三边关系求值。

      小结解题方法：正向思维，由因寻因，逆向思维，由果索因。

      同学们，中考中常见的最值问题有：线段和最小，线段差最大，共线最值问题等。今天这节课，我们结合了勾股定理、旋转、圆的性质、三角形的三边关系等知识点；渗透了数形结合、分类讨论、转化的数学思想；运用了逆向思维、正向思维的解题方法，重点研究了与圆有关的共线最值问题。让我们抓住一个基本结论，两个位置，三种数学思想方法，做题时选择最优的方法，以静制动，以不变应万变。今天这节课上到这里，同学们再见！