怎么求与圆有关的最值问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-02-24 11:08 被阅读0次

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使用情景：求与圆有关的最值问题
解题步骤：
第一步把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析；
第二步运用数学结合及转化的数学思想进行求解；
第三步得出结论.
【例】已知实数 $x$ 、 $y$ 满足方程 $x^2＋y^2－4x＋1＝0$ .
求：(1) $\dfrac{y}{x}$ 的最大值和最小值；
　　(2) $y-x$ 的最小值；
　　(3） $x^2+y^2$ 的最大值和最小值.
【解】

（1）如图，方程 $x^2+y^2-4x+1=0$ 表示以点 $(2,0)$ 为圆心，以 $\sqrt{3}$ 为半径的圆，

设 $\dfrac{y}{x}=k$ ，即 $y=kx$ ，

则圆心 $(2,0)$ 到直线 $y=kx$ 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值

由 $\dfrac{|2k-0|}{\sqrt{k^2+1}}$ ，解得 $k^2=3$

$\therefore k_{max}=\sqrt{3}$ ， $k_{min}=-\sqrt{3}$ .

（2）设 $y-x=b$ ，则 $y=x+b$ ，

仅当直线 $y=x+b$ 与圆切于第四象限时，截距 $b$ 取最小值，

由点到直线的距离公式，得 $\dfrac{|2-0-b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$ ，

即 $b=-2\pm\sqrt{6}$ ，故 $(y-x)_{min}=-2-2\sqrt{6}$

（3） $x^2+y^2$ 是圆上点与原点的距离的平方，

故连接 $OC$ ，与圆交于 $B$ 点，并延长交圆于 $C'$ ，

则

$(x^2+y^2)_{max}=|OC'|^2=(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$ ，

$(x^2+y^2)_{min}=|OB|^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$ .

【总结】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：

(1)形如 $m=\dfrac{y-b}{x-a}$ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如 $t＝ax＋by$ 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如 $m＝(x－a)^2＋(y－b)^2$ 的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

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